多相滤波器

多相滤波器常用语多速率数字信号处理系统。

假设要对输入数据序列进行 倍下采样，为了避免频谱展宽导致的混叠，首先要进行抗混叠滤波，然后对滤波结果进行下采样，显然，滤波输出中每 个数据就有 个数据会被丢弃，也就是说，针对这 个数据的滤波处理是浪费的，多相滤波器就是为了解决这一计算浪费问题而设计的。

假设要对输入数据进行 倍上采样，在上采样之后，需要进行滤波处理以消除镜像，一般做法是先进行插零上采样，然后进行滤波。采用多相滤波器可以颠倒采样和滤波的顺序以降低运算量。

诺贝尔恒等变换

在对滤波器进行适当变形分解后，可以交换上/下采样处理和滤波处理的顺序，并且保证处理结果一致。

多相分解

Ⅰ 型多相分解

设输入信号为 ，滤波器冲激响应为 ，先进性抗混叠滤波再进行下采样处理，过程如下

数字滤波器 ，定义 ，称 为 的第 个分组，

令 ，则

若 ，则称 为 的第 个多相分量，

将 均分为 组，除 余 的分在一组，e.g.

已知 阶数字滤波器单位脉冲响应为 ，求 时的多相分解

Ⅱ 型多相分解

令 ，得到 Ⅱ 型多相分解

滤波器结构

• Ⅰ 型分解

Ⅰ 型分解

• Ⅱ 型分解，

Ⅱ 型分解

参考资料

Multirate Noble Identities

多相抽取器实现及 matlab 示例

[数字信号处理] 第 7 章 7-4-1 数字滤波器结构的 I 型多相分解

[数字信号处理] 第 7 章 7-4-2 数字滤波器结构的 II 型多相分解