科海拾零

Cramér–Rao 界的推导 本文的推导基于以下假设： 信号到达方向对于各个阵元是一致的；信号扫过阵列的过程中只考虑相移，忽略包络的变化。 设阵元数为 ，快拍数为 ，观测数据为 其中 ，表示信号矢量； ，复加性高斯白噪声，各个阵元的噪声独立，且时间上互不相关，满足分布 ； ，表示含噪声的接收数据矢量，满足分布 . 复高斯随机变量概率密度函数的推导 设复随机变量 其中 与 均为实值随机变量，若 是一个复原对称高斯随机变量，则 与 相互独立； 与 满足 的均值表示为 ； 下面推导其概率密度函数（PDF），本质上是其 实部与虚部的二维联合 PDF。 因为 与 独立，则联合密度为 其中 因此 利用 得到 则 得到了一维 圆对称复高斯分布 的概率密度函数。 对于 维独立的复高斯随机变量，其联合概率密度函数为 对数似然函数的推导 观测数据 满足分布 ，均值向量为 ，带入上式，得到单个快拍的 PDF 为 由于 个快拍在时间上相互独立，则似然函数为各快拍 PD ...

广义线性模型 在回归模型中，线性回归表示为 ，逻辑回归表示为 ……为了使这形式不同的回归模型得到统一，引入了广义线性模型（GLM） GLM 的定义 GLM 基于三项定义： 线性预测算子： 链接函数：将响应变量的期望与线性预测算子联系，定义为 ，其中 函数的输入域是分布允许的范围，例如 Bernoulli 分布的期望 ；函数的输出是线性预测器，数值范围通常是整个实数域 响应变量服从指数族分布 ，如二项分布、泊松分布、正态分布 线性预测算子 其中 . 期望估计 将回归理解为求条件分布 的过程，得到分布后，用期望作为预测值 ，用方差作为预测值的不确定性。 指数分布族 注： 起着归一化常数的作用，确保 在 上的积分为 1. 以高斯分布为例，为了简化推导，令 ，则有 则 以 Bernoulli 分布为例，将均值为 的 Bernoulli 分布记作 ，使得 ，现将 Bernoulli 分布写成 则 ，求逆函数可以得到 ，其余项 典型模型 线性回归 响应变量的分布： 链接函数： 预测： 逻 ...

理想 AD 的量化信噪比 设 AD 满量程输入范围为 ，其中 是峰值电压，ADC 每次采样输出的二进制位数为 ，有效量化等级数为 则量化步长为 量化误差假设为均匀分布在 之间，均值为零，则方差（量化噪声的功率）为 附：均匀分布 的方差为 . 满幅的正弦信号 则理想的 SNR 为 物理上， 越大，表示量化步长 越精细，量化误差（噪声）越小，SNR 越高。由于器件噪声、非线性失真等因素，真实有效位数可能小于标称的位数，可以根据实际测得的 SNR 反推出真实的有效位数 .

人工智能基础 梯度下降公式的推导 目标是最小化一个可微函数 。 函数 在 附近的泰勒展开式为 函数 在 附近的泰勒展开式为 保留一阶泰勒展开，得到 其中 是要移动的方向，为了使得 ，需要满足 表示移动方向与梯度方向相反，自然选择 其中 。则参数更新规则为 以回归模型为例，用 的线性函数近似 ， 其代价函数为 偏导数计算如下 则更新规则为 这种方法需要再执行单次更新前扫描整个训练集，被称为 批量梯度下降。 线性回归 设模型的预测值为 ，观测值为 ，则噪声 。噪声服从参数为 的正态分布，即 ，其概率密度函数为 单个样本 出现的概率等价于噪声取值为 的概率，将 带入噪声的概率密度函数得到单个样本的概率密度 其中 表示给定 和参数 的条件下，观测到 的概率密度，核心是模型参数 的函数。 若有 个样本 ，各个样本之间相互独立，则所有样本同时出现的概率为 于是，最大化似然函数 等价于最小化 ，即最小二乘法的损失函数，同时也证明了在噪声满足正态分布的条件下，最小二乘与最大似 ...

延时函数 HAL_Delay 的 1ms 误差 1234567891011121314151617181920212223/** * @brief This function provides minimum delay (in milliseconds) based * on variable incremented. * @note In the default implementation , SysTick timer is the source of time * base. It is used to generate interrupts at regular time intervals where * uwTick is incremented. * @note This function is declared as __weak to be overwritten in case of other * implementations in user file. * @param Delay specifies the delay tim ...

CTF 工具安装流程 Pwn IDA Pro 版本号：v9.1 x64，点击此处 获取安装包（访问码：3j1b） 运行安装包 ida-pro_91_x64win.exe，按提示完成安装，然后复制 keygen_patch 目录中的文件 keygen.py 和 idapro.hexlic 文件到 IDA Pro 主目录下（自定义修改 keygen.py 中的 name、email 字段），保存修改并运行 keygen.py 脚本。 运行 keygen.py 后会生成 patch 后的文件 ida.dll.patched 与 ida32.dll.patched。将原先的文件 ida.dll 和 ida32.dll 删除，然后将补丁文件 ida.dll.patched 与 ida32.dll.patched 分别重新命名为 ida.dll 和 ida32.dll。 然后运行下面脚本指定 Python 版本 12idapyswitch --force-path C:\Software\Anaconda\python3.dllidapyswitch # 再次运行，选择0即 ...

从复数到四元数 复数与二维旋转 设复数 ，则 将这个结果写成矩阵相乘的形式， 说明 矩阵 表示的几何变换与是复数乘法运算等价的。 一般地，向量 在二维平面中对应一个直角三角形，两个直角边长度为 和 ，斜边长为 ，即向量的模长，矩阵 的每个元素同时除以模长，得到 设向量 与 轴夹角为 ，则 . 与该矩阵相乘在二维平面上实现的效果是 被乘的向量绕原点逆时针旋转 . 由此可以发现，复数能够表示二维平面上的旋转，假设旋转角度为 ，定义单位复数旋转因子为 被旋转的向量 ，相乘得到被旋转 后的复数为 对应向量 在二维平面 中绕原点逆时针旋转了 . 四元数与三维旋转 本文仅使用右手坐标系。 在三维空间中，向量 绕某个旋转轴 旋转，可以将向量 分解为平行于 的分量 和垂直于 的分量 ，然后分别旋转这两个向量，再合并得到最后结果。 其中 始终与 重合，旋转 后的 ； 始终与 垂直，它的旋转可以看作二维平面内的旋转，如下图所示， 向量 绕旋转轴 ， 旋转的结果 为了用“复数” ...

红米 AX6000 路由器刷机流程记录 Redmi AX6000 参数 参数 数值 参数 数值 产品型号 RB06 天线数量 4 分类 千兆双频 AX6000 信号放大器 独立八路 电源规格 12V@2A 网络接口 千兆网口 ×4 处理器 MT7986A 四核 2.0GHz 空间流 2.4GHz 4×4 5GHz× 4×4 内存 512MB 无线速率 1148Mbps 4804Mbps 闪存 128MB 最大频宽 160MHz 无线协议 Wi-Fi 6 注：Redmi AX6000 没有 2.5G 网口，考虑之后攒钱换一个接口更多的路由器…… 电源适配器： 型号 输入 输出 AD-0241200200CN-1 100-240V~50/60Hz 0.7A 12V@2A 官方固件解锁 SSH 系统版本: 1.0.67 稳定版 将路由器重置后，后台默认地址是 ...

信号的多普勒展缩建模 在“狭义相对论”的物理学假设下，光速是恒定的，是任何物体运动速度的上限。因此，信号在发送时刻就已经确定了其传播方向与传播距离，与后续收发机的运动无关。 假设发送机从 时刻开始，每隔 时间间隔，离散地发送一次复信号。 时刻，接收机在距离发送机 的位置，并且以一定的速度 远离发送机运动。 感觉本文最初的假设，发送机在 时刻发送的信号，其传播距离仅与 有关，假设接收机在 时刻收到该信号，则 ，表示传输时延。 发送机在 时刻发送信号，此时二者的距离为 ，传输时延为 ，接收机收到信号的时刻为 ，以此类推，第 个复信号的传输时延为 接收机接收到第 个复信号的时刻为 接收机收到第 个复信号与第 个复信号的时间差为 而发送机发送第 个复信号与第 个复信号的时间差为 ，由此可以看出，经过多普勒的影响后，信号在接收端表现为 平移+展缩 的效果。 附录 平移+展缩 的 MATLAB 仿真程序： 12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334 ...

平方根倒数计算 12345678910111213141516float Q_rsqrt( float number ){ long i; float x2, y; const float threehalfs = 1.5F; x2 = number * 0.5F; y = number; i = * ( long * ) &y; // evil floating point bit level hacking i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck? y = * ( float * ) &i; y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration// y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed return y;} 这是在《雷神之锤 ...