科海拾零

同轴线缆的 特性阻抗是 功率容量 与 损耗 之间的平衡。 阻抗 单位长度传输线的等效模型 单位长度传输线的特性阻抗为 近似无损耗的传输线，特性阻抗表示为 在不精确要求下，这个阻抗与频率无关。表达式中 为单位长度分布电感， 为单位长度分布电容。 设同轴线内导体半径为 ，外导体半径为 ，则有效传输区域为 . 其中 表示填充介质的磁导率， 为填充介质的介电常数， 为真空磁导率， 为真空介电常数； 分别为介质的相对磁导率、相对介电常数。 真空波阻抗满足 ，非磁介质 ，则特性阻抗表示为 并且填充空气时 . 功率容量 同轴线功率容量通常由介质击穿限制决定。 在同轴传输线中， TEM 模是主模，电场仅存在径向分量，从内导体外壁指向外导体内壁，磁场仅存在角向分量，围绕内导体环形分布，电场与磁场相互垂直，且均垂直于轴向传输方向。 同轴线内电磁场分布 工程中计算介质击穿功率容量时，可忽略损耗对场强分布的影响，仅考虑静态/低频极限下的径向场强分布。 对于无耗同轴线，其径向场强的静态、低频形式为 其中 表示同轴线内外导体间的电压。当 时取最大值，介电强度（击穿电场 ...

本文省略 Jupyter 安装流程，配置流程如下： 12jupyter notebook --generate-configvim .jupyter/jupyter_notebook_config.py 修改下面内容： 12345c.ServerApp.allow_remote_access = Falsec.ServerApp.ip = '127.0.0.1'c.ServerApp.notebook_dir = '<custom_path>'c.ServerApp.open_browser = Falsec.ServerApp.port = <custom_port> 经过上述配置后，Jupyter 只能在服务器本机的环回网卡开一个 TCP 监听端口 <custom_port>，只有服务器自己能访问，外界扫描不到端口，降低被爆破的风险。SSH 连接建立后，会形成一个加密的双向通道，全程加密并且能在通道中复用多路数据流，当然也包括端口转发。 服务器不开放公网端口，本地使用 SSH 建隧道，把服务器的 Jupyter 端口映射到本地，再用浏览器访问 ...

运行环境： 操作系统：Windows 11 Pro 开发工具：Visual Studio 2022 v17.14.24 CUDA Visual Studio 在新建的工程中，右键 → [Build Custemization Files]，添加下面目录中的 .targets 文件 1C:\Program Files\NVIDIA GPU Computing Toolkit\CUDA\v12.4\extras\visual_studio_integration\MSBuildExtensions 然后 [Properties] → [VC++ Directories] → [Include Directories] 填入 C:\Program Files\NVIDIA GPU Computing Toolkit\CUDA\v12.4\include [Properties] → [VC++ Directories] → [Library Directories] 填入 C:\Program Files\NVIDIA GPU Computing Toolkit\CUDA\v12. ...

假设一个 M 元阵列天线，信号形式为 其中 是 的信号矢量， 是 的导向矢量矩阵 协方差矩阵描述阵列接收数据各个通道之间相关性，定义为 如果信号与噪声互不相关，且噪声均匀独立同分布，那么 其中 为信号源协方差矩阵， 为噪声方差。对角元素表示阵元接收信号的平均功率，非对角元素表示不同阵元信号的互相关性。 实际上，只能采用采样数据近似计算协方差矩阵， 通过时间平均估计阵列数据的统计特性，其中 为快拍数，即采样点数。 MUSIC 算法 一种基于子空间分解的高分辨率波达方向（DOA）估计方法，由 Schmidt 等人于 1986 年提出。 R. Schmidt, "Multiple emitter location and signal parameter estimation," in IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol. 34, no. 3, pp. 276-280, March 1986, doi: 10.1109/TAP.1986.1143830. 将阵列接收数据的协方差矩阵特征值分解为 信号子空间 ...

数学基础 用概率密度函数（Probability Density Function, PDF）描述一组随机数据，即 ，PDF 以未知量 为参数，以 ， 表示均值为例，数据的 PDF 为 然后就可以根据 的观测值推断 的值。 估计量性能评估 将数据建模为 其中 为加性高斯白噪声（Additive Gaussian White Noise, AWGN），即 表示均值为 ，方差为 的高斯分布，并且所有样本是互不相关的。利用下式即数据的样本均值估计 满足 最小方差无偏估计 无偏估计量 无偏估计意味着估计量的平均值为未知参数 的真值，如果 说明估计量是无偏的，其中 表示 可能的取值范围。 对于同一个参数有多个估计可用的情况，即 ，对这些组合求平均，即 假设每个估计量都是无偏的，方差相同且互不相关，则 因此，求平均的估计值越多，方差越小，当 时，。 最小方差准则 均方误差定义为 衡量估计值偏离真值的平方偏差的统计平均值。 其中第一部分是估计量围绕其数学期望的随机波动，第二部分是估计量的期望围绕真值的波动，展开后得到 其中 ，表示估计量的偏差。上式表明 是 ...

假设有一组二维数据点，对应的数据矩阵为 数据矩阵中心化 质心的位置为 将数据中心化（去均值） 协方差矩阵 如果不同特征的标准差差异过大，需要先对数据标准化，不再依赖原本的度量单位。 经过标准化处理后，数据均值变为 ，标准差变为 . 协方差矩阵的主对角线为方差 ，非对角线元素为协方差 线性相关系数为 线性相关性系数矩阵为 每个元素表示两个特征之间的相关性 ，对角线上恒为 1，表示和自身完全正相关。 从正交投影的角度看， 在 方向的投影 的方差为 的协方差为 将线性相关性系数矩阵进行特征分解，得到 在特征向量 方向的投影为 则 的方差为 朝 正交投影得到 ， 特征值越大，表示该方向上数据的方差越大，信息越丰富（椭圆/球越长）。 把数据看作一个旋转的椭圆，主成分分析就是找到合适的方向将椭圆摆正。 近似还原 如果仅用第一主元信息还原 ，对应的运算为 误差为 然后用 近似还原 ，进一步缩放和平移 类似地，用前两个主元信息还原 ，对应的运算为 参考资料 Visualize-ML/Linear-Algebra-Made- ...

实对称矩阵的谱分解 实对称矩阵的特征值分解成为谱分解。给定一个 的实对称矩阵 ，其特征值分解可以写成 其中 为正交矩阵，每一列对应一个特征向量， 为对角矩阵，对角元素为特征值。 将矩阵 作用于二维向量 ，对应运算 将其拆解为三个连续变换 用 参考资料 中的例子， 对两个标准正交基做几何变换 首先 先做旋转变换， 做缩放， $$ $$ 最后 做旋转变换， $$ $$ 矩阵 的特征向量为 变换 对特征向量 的作用为 $$ $$ 可视化的 Python 程序见附录。 瑞利商 给定实数矩阵 ，定义其瑞利商为 当向量 为矩阵特征向量时， 为对应的特征值 对于实对称矩阵 ，瑞利商的最大值为最大特征值，最小值为最小特征值，驻点对应所有特征向量。 圆锥曲线——椭圆 设椭圆半长轴的长度为 ，半短轴的长度为 ，椭圆的解析式为 写成矩阵乘法的形式 设单位向量 ，满足 ， 矩阵 作用与 后得到椭圆上的向量 ，，则 则 令 ，则 即 非对称方阵的特征分解 Gram 矩阵 设矩阵 为 的矩阵， 的 Gram 矩阵为 形状为 ，是实对称矩阵，并 ...

本文的推导基于以下假设： 信号到达方向对于各个阵元是一致的；信号扫过阵列的过程中只考虑相移，忽略包络的变化。 设阵元数为 ，快拍数为 ，观测数据为 其中 ，表示信号矢量； ，复加性高斯白噪声，各个阵元的噪声独立，且时间上互不相关，满足分布 ； ，表示含噪声的接收数据矢量，满足分布 . 复高斯随机变量概率密度函数的推导 设复随机变量 其中 与 均为实值随机变量，若 是一个复原对称高斯随机变量，则 与 相互独立； 与 满足 的均值表示为 ； 下面推导其概率密度函数（PDF），本质上是其 实部与虚部的二维联合 PDF。 因为 与 独立，则联合密度为 其中 因此 利用 得到 则 得到了一维 圆对称复高斯分布 的概率密度函数。 对于 维独立的复高斯随机变量，其联合概率密度函数为 对数似然函数的推导 观测数据 满足分布 ，均值向量为 ，带入上式，得到单个快拍的 PDF 为 由于 个快拍在时间上相互独立，则似然函数为各快拍 PDF 的乘积，即 最终的对数似然函数为 Fisher 矩阵的推导 对于单个参数 ，Fisher 矩阵为 对于矢 ...

在回归模型中，线性回归表示为 ，逻辑回归表示为 ……为了使这形式不同的回归模型得到统一，引入了广义线性模型（GLM） GLM 的定义 GLM 基于三项定义： 线性预测算子： 链接函数：将响应变量的期望与线性预测算子联系，定义为 ，其中 函数的输入域是分布允许的范围，例如 Bernoulli 分布的期望 ；函数的输出是线性预测器，数值范围通常是整个实数域 响应变量服从指数族分布 ，如二项分布、泊松分布、正态分布 线性预测算子 其中 . 期望估计 将回归理解为求条件分布 的过程，得到分布后，用期望作为预测值 ，用方差作为预测值的不确定性。 指数分布族 注： 起着归一化常数的作用，确保 在 上的积分为 1. 以高斯分布为例，为了简化推导，令 ，则有 则 以 Bernoulli 分布为例，将均值为 的 Bernoulli 分布记作 ，使得 ，现将 Bernoulli 分布写成 则 ，求逆函数可以得到 ，其余项 典型模型 线性回归 响应变量的分布： 链接函数： 预测： 逻辑回归 响应变量的分布： 链接函数： 对应的 预测： 泊松回归 响应变量的 ...

设 AD 满量程输入范围为 ，其中 是峰值电压，ADC 每次采样输出的二进制位数为 ，有效量化等级数为 则量化步长为 量化误差假设为均匀分布在 之间，均值为零，则方差（量化噪声的功率）为 附：均匀分布 的方差为 . 满幅的正弦信号 则理想的 SNR 为 物理上， 越大，表示量化步长 越精细，量化误差（噪声）越小，SNR 越高。由于器件噪声、非线性失真等因素，真实有效位数可能小于标称的位数，可以根据实际测得的 SNR 反推出真实的有效位数 .