假设一个 M 元阵列天线，信号形式为
x ( t ) = A s ( t ) + n ( t ) \mathbf{x}(t) = \mathbf{A}s(t) + \mathbf{n}(t)
x ( t ) = A s ( t ) + n ( t )
其中 s ( t ) \mathbf{s}(t) s ( t ) K × 1 K\times 1 K × 1 A \mathbf{A} A M × K M\times K M × K
协方差矩阵描述阵列接收数据各个通道之间相关性，定义为
R x = E [ x ( t ) x † ( t ) ] \mathbf{R}_x = E [\mathbf{x}(t)\mathbf{x}^{\dagger}(t)]
R x = E [ x ( t ) x † ( t )]
如果信号与噪声互不相关，且噪声均匀独立同分布，那么
R x = A R s A † + σ n 2 I \mathbf{R}_x = \mathbf{A}\mathbf{R}_s\mathbf{A}^{\dagger} + \sigma^2_n\mathbf{I}
R x = A R s A † + σ n 2 I
其中 R s \mathbf{R}_s R s σ n 2 \sigma_n^2 σ n 2
实际上，只能采用采样数据近似计算协方差矩阵，
R ^ x = 1 N ∑ t = 1 N x ( t ) x † ( t ) \hat{\mathbf{R}}_x = \dfrac{1}{N} \sum_{t = 1}^N\mathbf{x}(t)\mathbf{x}^{\dagger}(t)
R ^ x = N 1 t = 1 ∑ N x ( t ) x † ( t )
通过时间平均估计阵列数据的统计特性，其中 N N N
一种基于子空间分解的高分辨率波达方向（DOA）估计方法，由 Schmidt 等人于 1986 年提出。
R. Schmidt, “Multiple emitter location and signal parameter estimation,” in IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol. 34, no. 3, pp. 276-280, March 1986, doi: 10.1109/TAP.1986.1143830.
将阵列接收数据的协方差矩阵特征值分解为 信号子空间 和 噪声子空间 。
R = U Σ U † = U s Σ s U s † ⏟ S i g n a l S u b s p a c e + U n Σ n U n † ⏟ N o i s e S u b s p a c e \mathbf{R} = \mathbf{U}\boldsymbol{\Sigma} \mathbf{U}^{\dagger} = \underbrace{\mathbf{U}_s\boldsymbol{\Sigma}_s \mathbf{U}^{\dagger}_s}_{Signal\ Subspace} + \underbrace{\mathbf{U}_n\boldsymbol{\Sigma}_n \mathbf{U}^{\dagger}_n}_{Noise\ Subspace}
R = U Σ U † = S i g na l S u b s p a ce U s Σ s U s † + N o i se S u b s p a ce U n Σ n U n †
其中 U ∈ C M × K \mathbf{U}\in \mathbb{C}^{M\times K} U ∈ C M × K M M M Σ = d i a g ( λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ M ) \Sigma=\mathrm{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_M) Σ = diag ( λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ M ) K K K M − K M-K M − K σ n 2 \sigma_n^2 σ n 2 U s \mathbf{U}_s U s U n \mathbf{U}_n U n
由于信号子空间与噪声子空间正交，有
U n † a ( θ k ) = 0 , k = 1 , 2 , ⋯ , K \mathbf{U}_n^{\dagger}\mathbf{a}(\theta_k) = 0, \quad k = 1,2,\cdots, K
U n † a ( θ k ) = 0 , k = 1 , 2 , ⋯ , K
将 MUSIC 空间谱函数定义为
P M U S I C ( θ ) = 1 a † ( θ ) U n U n † a ( θ ) P_{MUSIC}(\theta) = \dfrac{1}{\mathbf{a}^{\dagger}(\theta)\mathbf{U}_n\mathbf{U}_n^{\dagger}\mathbf{a}(\theta)}
P M U S I C ( θ ) = a † ( θ ) U n U n † a ( θ ) 1
当 θ \theta θ
算法步骤如下
计算样本协方差矩阵：
R ^ = 1 N ∑ t = 1 N X ( t ) X † ( t ) \hat{\mathbf{R}} = \dfrac{1}{N} \sum_{t = 1}^{N} \mathbf{X}(t)\mathbf{X}^{\dagger}(t)
R ^ = N 1 t = 1 ∑ N X ( t ) X † ( t )
对 R ^ \hat{\mathbf{R}} R ^ λ 1 ≥ λ 2 ≥ ⋯ ≥ λ M \lambda_1\geq \lambda_2\geq \cdots \geq \lambda_M λ 1 ≥ λ 2 ≥ ⋯ ≥ λ M e 1 , e 2 , ⋯ , e M \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\cdots,\mathbf{e}_M e 1 , e 2 , ⋯ , e M
确定信号子空间维数，信号子空间维数为 K K K M − K M-K M − K
构造噪声子空间矩阵
U n = [ e K + 1 , e K + 2 , ⋯ , e M ] \mathbf{U}_n = [\mathbf{e}_{K+1},\mathbf{e}_{K+2},\cdots, \mathbf{e}_M]
U n = [ e K + 1 , e K + 2 , ⋯ , e M ]
计算 MUSIC 谱，扫描方向 θ \theta θ
P M U S I C ( θ ) = 1 a † ( θ ) U n U n † a ( θ ) P_{MUSIC}(\theta) = \dfrac{1}{\mathbf{a}^{\dagger}(\theta)\mathbf{U}_n\mathbf{U}_n^{\dagger}\mathbf{a}(\theta)}
P M U S I C ( θ ) = a † ( θ ) U n U n † a ( θ ) 1
寻找 K K K θ \theta θ
ROOT-MUSIC 算法·
噪声子空间与信号导向矢量正交，因此导向矢量在噪声子空间上的投影为 0，通过构造一个多项式，其根对应信号的方向，求根即可得到 DOA 估计。
考虑一个 M 元的均匀线阵，阵元间距为 d，假设有 K 个远场窄带信号入射 ( K < M ) (K<M) ( K < M )
R x = A R s A † + σ n 2 I \mathbf{R}_x = \mathbf{A}\mathbf{R}_s\mathbf{A}^{\dagger} + \sigma^2_n\mathbf{I}
R x = A R s A † + σ n 2 I
其中 A = [ a ( θ 1 ) , a ( θ 2 ) , ⋯ , a ( θ K ) ] \mathbf{A}=[\mathbf{a}(\theta_1), \mathbf{a}(\theta_2), \cdots, \mathbf{a}(\theta_K)] A = [ a ( θ 1 ) , a ( θ 2 ) , ⋯ , a ( θ K )]
对于均匀线阵，导向矢量为
a ( z ) = [ 1 , e − j 2 π d λ sin θ , e − j 2 π 2 d λ sin θ m ⋯ , e − j 2 π ( M − 1 ) d λ sin θ ] ⊤ \mathbf{a}(z) = [ 1, e^{-j2\pi\frac{d}{\lambda}\sin\theta}, e^{-j2\pi\frac{2d}{\lambda}\sin\theta}m\cdots, e^{-j2\pi\frac{(M-1)d}{\lambda}\sin\theta}]^{\top}
a ( z ) = [ 1 , e − j 2 π λ d s i n θ , e − j 2 π λ 2 d s i n θ m ⋯ , e − j 2 π λ ( M − 1 ) d s i n θ ] ⊤
令 z = e j 2 π d λ sin θ z=e^{j2\pi\frac{d}{\lambda}\sin\theta} z = e j 2 π λ d s i n θ
a ( z ) = [ 1 , z − 1 , z − 2 , ⋯ , z − ( M − 1 ) ] ⊤ \mathbf{a}(z) = [1, z^{-1}, z^{-2}, \cdots, z^{-(M-1)}]^{\top}
a ( z ) = [ 1 , z − 1 , z − 2 , ⋯ , z − ( M − 1 ) ] ⊤
在 MUSIC 算法中，空间谱函数是
P M U S I C ( θ ) = 1 a † ( θ ) U n U n † a ( θ ) P_{MUSIC}(\theta) = \dfrac{1}{\mathbf{a}^{\dagger}(\theta)\mathbf{U}_n\mathbf{U}_n^{\dagger}\mathbf{a}(\theta)}
P M U S I C ( θ ) = a † ( θ ) U n U n † a ( θ ) 1
由于 a ( θ ) \mathbf{a}(\theta) a ( θ ) U n \mathbf{U}_n U n
D ( z ) = a ⊤ ( z − 1 ) U n U n † a ( z ) D(z) = \mathbf{a}^{\top}(z^{-1})\mathbf{U}_n\mathbf{U}_n^{\dagger} \mathbf{a}(z)
D ( z ) = a ⊤ ( z − 1 ) U n U n † a ( z )
当 z = z k = e j 2 π d λ sin θ k z=z_k=e^{j2\pi \frac{d}{\lambda}\sin\theta_k} z = z k = e j 2 π λ d s i n θ k D ( z k ) = 0 D(z_k)=0 D ( z k ) = 0 D ( z ) D(z) D ( z )
算法步骤如下：
计算样本协方差矩阵：
R ^ = 1 N ∑ t = 1 N X ( t ) X † ( t ) \hat{\mathbf{R}} = \dfrac{1}{N} \sum_{t = 1}^{N} \mathbf{X}(t)\mathbf{X}^{\dagger}(t)
R ^ = N 1 t = 1 ∑ N X ( t ) X † ( t )
对 R ^ \hat{\mathbf{R}} R ^ λ 1 ≥ λ 2 ≥ ⋯ ≥ λ M \lambda_1\geq \lambda_2\geq \cdots \geq \lambda_M λ 1 ≥ λ 2 ≥ ⋯ ≥ λ M e 1 , e 2 , ⋯ , e M \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\cdots,\mathbf{e}_M e 1 , e 2 , ⋯ , e M
确定信号子空间维数，信号子空间维数为 K K K M − K M-K M − K
构造噪声子空间矩阵
U n = [ e K + 1 , e K + 2 , ⋯ , e M ] \mathbf{U}_n = [\mathbf{e}_{K+1},\mathbf{e}_{K+2},\cdots, \mathbf{e}_M]
U n = [ e K + 1 , e K + 2 , ⋯ , e M ]
构造多项式系数，计算矩阵 C = U n U n † ∈ C M × M \mathbf{C}=\mathbf{U}_n\mathbf{U}_n^{\dagger} \in \mathbb{C}^{M\times M} C = U n U n † ∈ C M × M D ( z ) D(z) D ( z )
D ( z ) = ∑ m = − M + 1 M − 1 c m z m D(z) = \sum_{m =-M+1}^{M-1}c_mz^m
D ( z ) = m = − M + 1 ∑ M − 1 c m z m
其中 c m c_m c m C \mathbf{C} C
c m = ∑ i − j = m C i j , m = − M + 1 , ⋯ , M − 1 c_m = \sum_{i-j = m}C_{ij},\quad m =-M+1,\cdots, M-1
c m = i − j = m ∑ C ij , m = − M + 1 , ⋯ , M − 1
求解多项式方程 D ( z ) D(z) D ( z ) 2 M − 2 2M-2 2 M − 2
选择幅度接近（靠近单位圆）的 K 个根，这些根对应信号方向，设根 z k , k = 1 , 2 , ⋯ , K z_k,k=1,2,\cdots,K z k , k = 1 , 2 , ⋯ , K
θ k = arcsin ( λ 2 π d arg ( z k ) ) \theta_k = \arcsin\left( \dfrac{\lambda}{2\pi d} \arg(z_k)\right)
θ k = arcsin ( 2 π d λ arg ( z k ) )
其中 arg ( z k ) \arg(z_k) arg ( z k ) z k z_k z k
算法对比
MUSIC
ROOT-MUSIC
算法
网格搜索
直接解析求解
精度
受限与搜索网格的密度
理论精度较高
计算量
为了高精度，需要网格足够密，计算量大
做一次多项式求根
低信噪比表现
谱峰可能不明显
根的径向位置可能变动，但相位保持较好
局限性
适用于均匀线阵
最大似然法·
确定性最大似然法（DML）·
确定性最大似然法将信号视为 确定未知量 ，则参数估计包括 DOA θ \theta θ s ( t ) \mathbf{s}(t) s ( t )
似然函数：在噪声满足高斯分布的假设下。数据的似然函数为
L ( θ , s ) = 1 ( π σ n 2 ) exp ( − 1 σ n 2 ∑ t = 1 L ∣ ∣ x ( t ) − A s ( t ) ∣ ∣ 2 ) \mathcal{L}(\theta, s) = \dfrac{1}{(\pi \sigma_n^2)}\exp{\left( -\dfrac{1}{\sigma_n^2}\sum_{t = 1}^L {\left|| \mathbf{x}(t) - \mathbf{As}(t)\right||^2} \right)}
L ( θ , s ) = ( π σ n 2 ) 1 exp ( − σ n 2 1 t = 1 ∑ L ∣ ∣ x ( t ) − As ( t ) ∣ ∣ 2 )
最大化似然函数等价最小化下面的代价函数
J ( θ ) = ∑ t = 1 L ∣ ∣ x ( t ) − A s ( t ) ∣ ∣ 2 \mathcal{J}(\theta) = \sum_{t = 1}^L {\left|| \mathbf{x}(t) - \mathbf{As}(t)\right||^2}
J ( θ ) = t = 1 ∑ L ∣ ∣ x ( t ) − As ( t ) ∣ ∣ 2
对于固定的 θ \theta θ s ( t ) \mathbf{s}(t) s ( t )
s ( t ) ^ = ( A † A ) − 1 A † x ( t ) \hat{\mathbf{s}(t)} = (\mathbf{A}^{\dagger}\mathbf{A})^{-1}\mathbf{A}^{\dagger}\mathbf{x}(t)
s ( t ) ^ = ( A † A ) − 1 A † x ( t )
将 s ^ ( t ) \hat{\mathbf{s}}(t) s ^ ( t )
J ( θ ) = ∑ t = 1 L ∣ ∣ x ( t ) − A ( A † A ) − 1 A † x ( t ) ∣ ∣ 2 \mathcal{J}(\theta) = \sum_{t = 1}^L {\left|| \mathbf{x}(t) - \mathbf{A}(\mathbf{A}^{\dagger}\mathbf{A})^{-1}\mathbf{A}^{\dagger}\mathbf{x}(t)\right||^2}
J ( θ ) = t = 1 ∑ L ∣ x ( t ) − A ( A † A ) − 1 A † x ( t ) ∣ 2
定义
P A = A ( A † A ) − 1 A † P A ⊥ = I − P A \begin{aligned}
P_A &= \mathbf{A}(\mathbf{A}^{\dagger}\mathbf{A})^{-1}\mathbf{A}^{\dagger}\\
P_A^{\perp} &= I - P_A\\
\end{aligned}
P A P A ⊥ = A ( A † A ) − 1 A † = I − P A
于是代价函数可以写成
J ( θ ) = ∑ t = 1 L ∣ ∣ P A ⊥ x ( t ) ∣ ∣ 2 = tr [ P A ⊥ ( ∑ t = 1 L x ( t ) x † ( t ) ) ] \mathcal{J}(\theta) = \sum_{t = 1}^L {\left|| P_A^{\perp}\mathbf{x}(t) \right||^2}
=\operatorname{tr} \left [ \mathbf{P}_A^{\perp} \left( \sum_{t = 1}^L \mathbf{x}(t)\mathbf{x}^{\dagger}(t) \right) \right]\\
J ( θ ) = t = 1 ∑ L ∣ P A ⊥ x ( t ) ∣ 2 = tr [ P A ⊥ ( t = 1 ∑ L x ( t ) x † ( t ) ) ]
最后，DML 优化的目标是
arg min θ tr [ P A ⊥ R ^ x ] \arg\min_{\theta} \operatorname{tr} [P_{A}^{\perp} \hat{R}_x]
arg θ min tr [ P A ⊥ R ^ x ]
直观理解：寻找一组导向矢量 A A A A A A
随机性最大似然法（SML）·
将信号 s ( t ) \mathbf{s}(t) s ( t )
s ( t ) ∼ C N ( 0 , R s ) \mathbf{s}(t) \sim \mathcal{CN}(0, \mathbf{R}_s)
s ( t ) ∼ C N ( 0 , R s )
噪声假设为
n ( t ) ∼ C N ( 0 , σ n 2 I ) \mathbf{n}(t) \sim \mathcal{CN}(0, \sigma^2_n\mathbf{I})
n ( t ) ∼ C N ( 0 , σ n 2 I )
阵列的输出特性满足
x ( t ) ∼ C N ( 0 , R ) \mathbf{x}(t) \sim \mathcal{CN}(0, \mathbf{R})
x ( t ) ∼ C N ( 0 , R )
下面推导似然函数与估计器
单个快拍的概率密度函数为
p ( x ( t ) ∣ θ , R s , σ n 2 ) = 1 π M ∣ R x ∣ exp ( − x † ( t ) R x − 1 x ( t ) ) p(\mathbf{x}(t)|\mathbf{\theta}, \mathbf{R_s}, \sigma_n^2)
= \dfrac{1}{\pi^M|\mathbf{R}_x|}\exp(-\mathbf{x}^{\dagger}(t)\mathbf{R}_x^{-1}\mathbf{x}(t))
p ( x ( t ) ∣ θ , R s , σ n 2 ) = π M ∣ R x ∣ 1 exp ( − x † ( t ) R x − 1 x ( t ))
L 个独立快拍的联合似然函数为
L ( θ , R s , σ n 2 ) = 1 π M L ∣ R x ∣ L exp ( − ∑ t = 1 L x † ( t ) R x − 1 x ( t ) ) \mathcal{L}(\theta, \mathbf{R}_s, \sigma^2_n)
= \dfrac{1}{\pi^{ML}|\mathbf{R}_x|^L}\exp{\left( -\sum_{t = 1}^L\mathbf{x}^{\dagger}(t)\mathbf{R}_x^{-1}\mathbf{x}(t) \right)}
L ( θ , R s , σ n 2 ) = π M L ∣ R x ∣ L 1 exp ( − t = 1 ∑ L x † ( t ) R x − 1 x ( t ) )
对数似然函数为
ln L ( θ , R s , σ n 2 ) = − M L ln π − L ln ∣ R x ∣ − ∑ t = 1 L x † ( t ) R − 1 x ( t ) = − M L ln π − L ln ∣ R x ∣ − L ⋅ tr [ R x − 1 R x ^ ] \begin{aligned}
\ln\mathcal{L}(\theta, \mathbf{R}_s,\sigma^2_n)
&= -ML\ln\pi -L\ln|\mathbf{R}_x| - \sum_{t = 1}^L \mathbf{x}^{\dagger}(t)\mathbf{R}^{-1}\mathbf{x}(t)\\
&= -ML\ln\pi -L\ln|\mathbf{R}_x| - L\cdot \operatorname{tr} [\mathbf{R}_x^{-1}\hat{\mathbf{R}_x}] \\
\end{aligned}
ln L ( θ , R s , σ n 2 ) = − M L ln π − L ln ∣ R x ∣ − t = 1 ∑ L x † ( t ) R − 1 x ( t ) = − M L ln π − L ln ∣ R x ∣ − L ⋅ tr [ R x − 1 R x ^ ]
目标是优化
arg max θ , R s , σ n 2 ln L ( θ , R s , σ n 2 ) \arg\max_{\theta,\mathbf{R}_s, \sigma^2_n} \ln L(\theta, \mathbf{R}_s, \sigma^2_n)
arg θ , R s , σ n 2 max ln L ( θ , R s , σ n 2 )
SML 认为，既然信号是随机的，那我就不去估计每一个具体的信号值了，而是去估计信号的 统计特性 （也就是它的协方差矩阵）。
固定 θ \theta θ
( R ^ s , σ ^ n 2 ) = arg max R s , σ n 2 ln L ( R s , σ n 2 ) (\hat{\mathbf{R}}_s, \hat{\sigma}_n^2)
= \arg\max_{\mathbf{R}_s, \sigma^2_n} \ln L(\mathbf{R}_s, \sigma^2_n)
( R ^ s , σ ^ n 2 ) = arg R s , σ n 2 max ln L ( R s , σ n 2 )
对接收信号样本方差矩阵进行特征分解得到
R ^ x = ∑ i = 1 M λ ^ i u ^ i u ^ i † \hat{\mathbf{R}}_x = \sum_{i = 1}^M \hat{\lambda}_i\hat{\mathbf{u}}_i\hat{\mathbf{u}}_i^{\dagger}
R ^ x = i = 1 ∑ M λ ^ i u ^ i u ^ i †
其中特征值按降序排序：λ ^ 1 > λ ^ 2 > ⋯ > λ ^ M \hat{\lambda}_1>\hat{\lambda}_2>\cdots>\hat{\lambda}_M λ ^ 1 > λ ^ 2 > ⋯ > λ ^ M
则噪声功率估计为
σ ^ n 2 = 1 M − K ∑ i = K + 1 M λ ^ i \hat{\sigma}^2_n = \dfrac{1}{M-K}\sum_{i = K+1}^{M}\hat{\lambda}_i
σ ^ n 2 = M − K 1 i = K + 1 ∑ M λ ^ i
信号协方差矩阵估计为
SML 的优势在于，当两个信号高度相关（比如多径效应）时，信号协方差矩阵不满秩，MUSIC 算法失效，而 SML 建模时不考虑信号协方差矩阵是否满秩
ESPRIT 算法·
Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques
核心思想时利用阵列的平移不变性估计信号参数（寻找两个相同子阵的旋转关系，避免对整个参数空间的搜索）
考虑两个完全相同的均匀线阵，每个阵列包含 M − 1 M-1 M − 1 { 1 , 2 , ⋯ , M − 1 } \{1,2,\cdots,M-1\} { 1 , 2 , ⋯ , M − 1 } { 2 , 3 , ⋯ , M } \{2,3,\cdots,M\} { 2 , 3 , ⋯ , M }
x 1 ( t ) = A s ( t ) + n 1 ( t ) x 2 ( t ) = A Φ s ( t ) + n 2 ( t ) \begin{aligned}
\mathbf{x}_1(t) &= \mathbf{As}(t) + \mathbf{n}_1(t)\\
\mathbf{x}_2(t) &= \mathbf{A\boldsymbol{\Phi}s}(t) + \mathbf{n}_2(t)\\
\end{aligned}
x 1 ( t ) x 2 ( t ) = As ( t ) + n 1 ( t ) = A Φ s ( t ) + n 2 ( t )
其中
Φ = d i a g ( e − j 2 π d sin θ 1 λ , ⋯ , e − j 2 π d sin θ K λ ) \boldsymbol{\Phi} = \mathrm{diag}(
e^{-j2\pi\frac{d\sin{\theta_1}}{\lambda}}, \cdots, e^{-j2\pi\frac{d\sin{\theta_K}}{\lambda}}
)
Φ = diag ( e − j 2 π λ d s i n θ 1 , ⋯ , e − j 2 π λ d s i n θ K )
将接收信号协方差矩阵进行特征分解得到
R = U Σ U † = U s Σ s U s † + U n Σ n U n † \mathbf{R} = \mathbf{U\Sigma U^{\dagger}} = \mathbf{U_s\Sigma_s U^{\dagger}_s} + \mathbf{U_n\Sigma_n U^{\dagger}_n}
R = UΣ U † = U s Σ s U s † + U n Σ n U n †
将 U s \mathbf{U}_s U s M − 1 M-1 M − 1 M − 1 M-1 M − 1
U s = [ U s 1 U s 2 ] \mathbf{U}_s = \begin{bmatrix}
\mathbf{U}_{s1}\\
\mathbf{U}_{s2}\\
\end{bmatrix}
U s = [ U s 1 U s 2 ]
然后利用最小二乘求解旋转矩阵
Ψ = U s 1 † U s 2 \boldsymbol{\Psi} = \mathbf{U}^{\dagger}_{s1}\mathbf{U}_{s2}
Ψ = U s 1 † U s 2
对该旋转矩阵做特征分解得到
Ψ q k = λ k q k = e − j 2 π d sin θ k λ q k \boldsymbol{\Psi} \mathbf{q}_k = \lambda_k \mathbf{q}_k = e^{-j2\pi\frac{d\sin{\theta_k}}{\lambda}}\mathbf{q}_k
Ψ q k = λ k q k = e − j 2 π λ d s i n θ k q k
求得相位增量，进而得到 DOA 估计值。
算法演进脉络·
在算法的演进过程中，主要考虑以下几个方面的改进：
计算效率 ：MLE 计算量大，容易陷入局部最优，MUSIC 需要扫描角度空间；后续提出的 ROOT-MUSIC 去掉扫描步骤，直接计算多项式方程的根，ESPRIT 求解特征值问题，避免扫描这种 遍历 操作，提高计算效率；分辨率 ：相关法利用简单的匹配滤波，受限于 Rayleigh 限，近角度易混淆，后来提出的 MUSIC 算法利用导向矢量与噪声子空间正交，谱函数理论上是无限窄的尖峰，分辨率得到提升；多信号 ：相关法能有效处理单信号，后续提出的 MUSIC，ESPRIT 能处理多个信号同时入射的情况；
graph LR
A(相关法)-->B(MLE)--多信号-->C(MUSIC)-->D(ESPRIT)
C---E(ROOT-MUSIC)
相关法 ：易于实现，但是分辨率较低，近角度无法分辨，并且低信噪比条件下估计误差大；
与捕获算法类似的是，都是计算 接收信号 与 已知模板 的相似度，寻找峰值。
区别在于，捕获的相关法是在计算 时间 的匹配滤波（时域卷积运算 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ F F T \mathcal{FFT} FF T 空间 上的匹配滤波；
MLE ：将参数估计转化为最优化问题（理论可达 CRLB），计算量较大，容易出现局部最优的情况；MUSIC ：利用信号子空间与噪声子空间正交的特性，可以分离多个相近的信号，而且不需要求解复杂的最优化问题，但是计算复杂度高于相关法，耗时较长，实时性较差；
ROOT-MUSIC （仅适用于 ULA）：相较于 MUSIC 算法，ROOT-MUSIC 直接求根，不需要扫描角度，但是受到噪声的影响，根偏离单位圆 z = 1 z=1 z = 1
ESPRIT ：MUSIC 算法需要对角度空间搜索，而 ESPRIT 算法利用信号子空间的旋转不变性求解特征值问题，计算量更低；
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