正交频分复用

频率选择性衰落·

发送端喝接收端之间有多条路径，每条路径的衰减不同，时延不同。设发送端发射信号为 $f(t)$，接收端收到的信号

$$\begin{aligned} r(t) &= Af(t-\tau_0) + A_1f(t-\tau_0 - \tau_1)\\ R(\omega) &= A_0F(\omega)e^{-j\omega \tau_0} + A_1F(\omega)e^{-j\omega(\tau_0+\tau_1)} + \cdots\\ \end{aligned}$$

则信道的频谱函数为

$$H(\omega) = A_0e^{-j\omega\tau_0} + A_1e^{-j\omega(\tau_0+\tau_1)} + \cdots$$

假设传播的路径只有两条，

$$H(\omega) = e^{-j\omega\tau_0}(A_0 + A_1e^{-j\omega\tau_1})$$

由上式可知 $|H(\omega)|$ 随着 $\omega$ 变化而变化，表现为频率选择性衰落。如果信号带宽大于信道带宽，一些频率的信号被严重衰减，使得整体信号发生畸变。

OFDM 的正交性·

如果信号带宽小于信道带宽，那么传输过程中受到的信道的传输函数是相似的，没有频率选择性衰落，但是信号带宽小，传输速率低。

宽带通信要克服 信号带宽大于信道带宽 的情况。为了既能高速传输数据，又能抵抗频率选择性衰落，可以将高速数据分成多个低速的多路数据，通过多路载波发送，到了接收端再合成一路。而一般的频分复用，频带利用率较低，正交频分复用使用尽可能紧邻的正交子载波，可以 提高频带利用率，并且能够 对抗频率选择性衰落。可以验证，下面一组载波是相互正交的

$$1, cos\omega t, \cos2\omega t, \cdots, \cos{m\omega t},\cdots, sin\omega t, \sin 2\omega t, \cdots, \cos{m\omega t},\cdots$$

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所以我们可以从这些载波中挑出一些构造 OFDM：先将谁进行串并转换，将高速数据转化为多路低速数据，然后分别调制到不同的载波上，相加后经过信道送出；接收端使用相关接收（对应子载波的信号相乘后才有输出，别的子载波信号与其正交，输出为 $0$）经过调制后，频谱被搬移到各载波的中心频率上，经过相加后，合成频谱如下图

NoOfCarriers = 11;  % 载波数量（奇数）
iMin = -(NoOfCarriers-1)/2;
iMax = (NoOfCarriers-1)/2;
f = -10:0.01:10;
fList = zeros(1,NoOfCarriers);
cList = zeros(1,NoOfCarriers);
for i=iMin:1:iMax
    fshift = i ;
    c = sinc(f - fshift);
    fList(i+NoOfCarriers) =  fshift;
    cList(i+NoOfCarriers) = max(c);
    plot(f,c,'linewidth',1.5);
    hold on;
    stem(i ,1,'r-','linewidth',1.5);
end
xlabel("频率 MHz"); grid(); hold off;

为了实现每个子信道频谱的最大值处，其它子信道频谱恰好为 $0$，要满足 相邻子载波之间的频率间隔要等于输入码元持续时间的倒数。

OFDM 调制与解调·

将带宽为 $B$ 的载波划分成 $N$ 个带宽为 $\Delta f = \dfrac{B}{N}$ 的正交子载波，如果第一个载波的中心频率是 $f_0$，第 $n$ 个载波的中心频率是 $f_n = f_0 + (n-1)\Delta f$，将符号 $X_n$ 调制到第 $n$ 个载波上。得到传输符号 $X_ne^{j2\pi f_nt}$，累加所有载波上的信号得到最终的发送信号

$$f(t) = \displaystyle\sum_{n = 1}^N{X_n e^{j2\pi f_n t}} = e^{2\pi f_0 t}\displaystyle\sum_{n = 1}^{N-1} X_ne^{j2\pi n \Delta ft}$$

当接收端接收到信号 $f(t)$ 后，可以采用以下方法确定载波 $n$ 上的符号 $X_n$.

$$\begin{aligned} \Delta f\int_0^{1/\Delta f}f(t)e^{-j2\pi f_n t}dt &= \Delta f\int_0^{1/\Delta f} \displaystyle\sum_{n = 1}^N{X_n e^{j2\pi f_n t}} e^{-j2\pi f_n t}dt\\ &= X_n + \displaystyle\sum_{k\not = n} \Delta f\int_0^{1/\Delta f} X_k e^{j2\pi f_k t}e^{-2\pi f_n t}dt\\ &= X_n\\ \end{aligned}$$

其中 $f(t)=e^{2\pi f_0 t}\displaystyle\sum_{n=1}^{N-1} X_ne^{j2\pi n \Delta ft}$ 可以视为对基带信号 $\hat{f}(t)=\displaystyle\sum_{n=1}^{N-1} X_ne^{j2\pi n \Delta ft}$ 在发射前的进一步载波调制，但是载波数量很大时，产生 $\hat{f}(t)$ 的成本很高，需要使用时间间隔为 $T=\dfrac{1}{B}$ 对其采样，第 $l$ 个采样样本为

$$\begin{aligned} \hat{f}(lT) &= \displaystyle\sum_{n = 1}^{N}X_n e^{j2\pi n \Delta flT}\\ &= \displaystyle\sum_{n = 1}^{N}X_n e^{j2\pi n \frac{B}{N}l\frac{1}{B}}\\ &= \displaystyle\sum_{n = 1}^{N}X_n e^{j2\pi \frac{nl}{N}}\\ \end{aligned}$$

在 OFDM 中传输的是对连续信号 $\hat{f}(t)$ 的 $N$ 个采样点，当接收端接收到 $\{\hat{f}(1),\hat{f}(2),\cdots, \hat{f}(N)\}$，对这 $N$ 个点做离散傅里叶变换后得到序列 $X_1,X_2,\cdots, X_n$

循环前缀·

多径效应的影响·

信号通过多径传输时，信道长度不同，到达接收端的时间不同，可能造成码间串扰。（假设发射信号为 $x[n]|_0^{N-1}$，信道为 $h[n]|_0^{\mu}$，当信号通过信道后，接收端得到 $y[n] = x[n]*h[n]$，长度为 $N+\mu$，接收端在处理了 $N$ 个信号时，还有 $\mu$ 个未处理，此时又收到来自发送端的信号，对第一个信号产生影响。）

循环卷积：$y[n]=x[n]\otimes h[n] = \displaystyle\sum_{n=0}^{N-1} x[m]h[[n-m]]_N R_N[n]$

当 $N=L_1+L_2-1$ 时，循环卷积与线性卷积结果相同。

在 OFDM 中，符号 $X_k$ 经过 IFFT 后变成 $\hat{f}[n]$，经过信道后，接受端接收 $y[n] = f[n]*h[n]$，如果将线性卷积变为循环卷积，就可以利用 DFT 得到 $Y(k)=X(k)H(k)$，其中 $H(k)$ 可以利用信道估计得到。

循环前缀·

设发送信号的长度为 $N$，信道响应的长度为 $\mu+1$ 循环前缀的长度为 $l$，则接收端接收的信号长度为 $N+\mu+l$，如果 $l>\mu$，接收得到 $y[n]$ 不受 ISI 的影响。

第二个信号加长 $\mu$（将发射信号 $x[n]$ 的后 $\mu$ 个复制到 $x[n]$ 的前面）时得到新的信号 $x_1[n]$

$$\{x [X-\mu],\cdots, x [N-1], x [0], x [1], \cdots, x [N-2], x [N-1]\}$$

$$\begin{aligned} y [n] &= x_1 [n] * h [n]\\ &= \sum_{m = 0}^{\mu} h [m] x_1 [n-m]\\ &= \sum_{m = 0}^{\mu} h [m] x_1 [[n-m]]_NR_N [n]\\ &= h [n] \otimes x [n]\\ \end{aligned}$$

参考资料·

• Yong Soo Cho 等. MIMO-OFDM 无线通信技术及 MATLAB 实现 [M]. 北京: 电子工业出版社, 2013.

• 仿真：https://www.sharetechnote.com/html/Communication_OFDM.html

• 调制与解调：https://zhuanlan.zhihu.com/p/137712898