基础

BPSK 的时域表达式是

  • ：待发送的二进制信息
  • ：符号周期
  • ：成型滤波器的冲激响应
  • ：载波中心频率

：未必整数倍

MATLAB 仿真

按照上图流程进行 MATLAB 仿真

调制与解调

设定参数：系统时钟频率为 ，根升余弦滤波器滚降系数 ，其它参数可修改

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sys_clk = 160e6;
Rb = 5e6;                  % //FIXME
Rs = Rb; Ts = 1 / Rs;

usmp_rate = sys_clk / Rs;  % //FIXME
fc = 20e6;                 % //FIXME
hrc = 'rrc';               % //FIXME
  1. 随机生成 num 个二进制数，并对极化处理：
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num = round(100000 * 10 ^ (EbNo / 10));
b = randi([0 1], 1, num);
b_sign = 1 - 2 * b;
% b_sign = exp(1j * pi * b)  % 1: cos(-\pi)=-1 / 0: cos(\pi)=1
  1. 成型滤波，并去除延迟：
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switch hrc
    case 'rect'
        h = ones(1, usmp_rate + 1);
    case 'sinc'
        t = -3 * pi : pi / usmp_rate : 3 * pi;
        h = sinc(t);
    case 'rrc'
        beta = 0.35;
        span = 6;
        sps = usmp_rate;
        h = rcosdesign(beta, span, sps, 'sqrt');
end

baseband = conv(upsample(b_sign, usmp_rate), h);
delay = (length(h) - 1 ) / 2;
baseband = baseband(delay + 1:end - delay);

基带信号的时域波形与功率谱密度
  1. 载波调制
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phase = 2 * pi * rand;
total_t = Ts * num;
t = 0 : 1/sys_clk : (total_t - 1/sys_clk);
carrier = cos(2 * pi * fc * t + phase);
modulated_signal = baseband .* carrier;

调制信号的时域波形与功率谱密度
  1. 经过高斯白噪声信道

与 的关系：

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SNR = EbNo - 10 * log10(usmp_rate / 2);
noised_signal = awgn(modulated_signal, SNR, 'measured');
  1. 相干解调
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local_carrier = 2 * carrier;
received_signal = noised_signal .* local_carrier;

相干解调信号的时域波形与功率谱密度
  1. 匹配滤波与抽样判决
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mf_dout = conv(received_signal, fliplr(h));
delay = (length(h) - 1) / 2;
decision_result = downsample(mf_dout(delay+1:end), usmp_rate);
decision_result = decision_result(1:num);

匹配滤波后信号的时域波形与功率谱密度

仿真结果

将仿真得到的误比特率曲线与理论误比特率曲线比较，基本重合

理论分析

载波频率对误比特率的影响

带通采样定理：

频带信号如图所示，为了保证被采样后不会发生混叠，需要满足条件：

则

在采样频率、码元速率一定时，由带通采样定理可以推导出载波频率 的范围：

当 时，可以得到 载波频率的取值范围 是

内插系数对误比特率的影响

当 时，可以得到内插系数的范围是

接收机采样点位置对误比特率的影响

由仿真结果可以看出，在最佳的接收机采样点处采样，误比特率最低，距离该点越远，误比特率越高。

成型滤波器对误比特率的影响

几乎无影响。

FPGA 仿真（调制）

设定参数：系统时钟频率为 ，传输速率 ，发送比特数为 位。

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reg [14:0] counter = 15'd0;
always @(posedge clk) begin
    if (!rst_n) begin
        counter[14:0] <= 13'd0;
    end
    else begin
        counter[14:0] <= counter[14:0] + 13'd1;
    end
end

wire [9:0] address;
// sys_clk = 160M / Rb = 5M = 32
assign address[9:0] = counter[14:5];

由系统时钟频率和传输速率可以得到内插系数为 ，需要 位计数器；发送 位数据，需要 位地址，于是定义计数器变量为 reg [14:0] counter，每计数 ，地址增 ，将 counter 的高 位赋值给 .

存储数据、成型滤波、载波调制等过程通过 IP 核实现：

功能 IP 核
存储数据 Block Memory Generator
成型滤波 FIR Compiler
生成载波 DDS Compiler
载波调制 Multiplier
生成系统时钟 Clock Wizard

仿真波形如下图

附录

噪声建模

  • SNR 与 Eb/n0 的关系

下文用到的符号表示：

  • ：比特能量，单位
  • ：噪声的功率谱密度，单位
  • ：无量纲
  • ：信号功率，单位
  • ：噪声功率，单位
  • 带宽
  • ：信噪比，无量纲
  • ：比特速率，单位 ；：传输每比特所需的时间
  • ：符号速率，单位
  • ：码片速率，单位
  • ：调制星座点个数
  • ：扩频比
  • ：根升余弦成型滤波器的滚降因子
  • ：内插系数

SNR（Signal Noise Radio）表示信噪比， 表示传输 信息所需要的能量与噪声功率谱密度的比值。对于数字信号来说，用时间长度为 的波形表示码元，每个码元的平均功率为 ，因此不能用功率描述数字信号，因此采用码元能量来描述数字信号波形。

其中带宽 ，比特能量与符号能量满足关系 ，则

最终得到，

注：

  • 在常规通信系统中， 是仿真中的采样速率与 符号速率 之比；
  • 在扩频通信系统中， 是仿真中的采样速率与 码片速率 之比；

BPSK 的 MATLAB 仿真

  • MATLAB 仿真代码（CPU 版）
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close all; clear; clc;

tic;

% FIXME System Parameters
fs = 122.88e6;
Rs = 3.072e6;
Rb = Rs; Ts = 1 / Rs;
fc = 2e9;

usmp_rate = floor(fs / Rs);

num = 5000;
b = 1 - 2 * randi([0 1], 1, num);

%% Send
beta = 0.1; span = 12;
sps = usmp_rate;
h = rcosdesign(beta, span, sps, "sqrt");

baseband_tx = conv(upsample(b, usmp_rate), h, "same");

toc;

t = (1 : length(baseband_tx)) / fs;
carrier = cos(2 * pi * fc * t);
tx_wave = baseband_tx .* carrier;

toc;

%% Channel
Ebn0_dB = 10;
SNR_dB = Ebn0_dB - 10 * log10(usmp_rate / 2);
rx_wave = awgn(tx_wave, SNR_dB, 'measured');

toc;

%% Recv
% Coherent Demodulation
local_carrier = 2 * carrier;
demod_wave = rx_wave .* local_carrier;

% Matched Filtering
baseband_rx = conv(demod_wave, h, "same");

% Sampling and Decision
samples = baseband_rx(1 : sps : end);
bits_recovered = double(samples < 0);

toc;

original_bits = (b < 0);
err = sum(original_bits(1:num) ~= bits_recovered(1:num));
fprintf('Bit error rate: %d\n', err / num);

%% Figure
N = 65536;
t = (1 : length(baseband_tx)) / fs;
% Send
figure;
subplot(2, 1, 1);
plot(t, baseband_tx);
xlabel("Time (s)"); ylabel("Amplitude");
title("BPSK Baseband Signal");
grid on;

subplot(2, 1, 2);
f = (-fs/2 : fs/N : fs/2-fs/N);
plot(f, 10 * log10(abs(fftshift(fft(baseband_tx, N)))));
xlabel("Frequency (Hz)"); ylabel("Amplitude (dB)");
title("BPSK Baseband Spectrum");
grid on;

% Recv
figure;
subplot(2, 2, 1);
plot(t, demod_wave);
xlabel("Time (s)"); ylabel("Amplitude");
title("Coherent Demodulation Signal");
grid on;

subplot(2, 2, 2);
plot(t, baseband_rx);
xlabel("Time (s)"); ylabel("Amplitude");
title("Matched Filtering Signal");
grid on;

subplot(2, 2, 3);
f = (-fs/2 : fs/N : fs/2-fs/N);
plot(f, 10 * log10(abs(fftshift(fft(demod_wave, N)))));
xlabel("Frequency (Hz)"); ylabel("Amplitude (dB)");
title("Coherent Demodulation Spectrum");
grid on;

subplot(2, 2, 4);
f = (-fs/2 : fs/N : fs/2-fs/N);
plot(f, 10 * log10(abs(fftshift(fft(baseband_rx, N)))));
xlabel("Frequency (Hz)"); ylabel("Amplitude (dB)");
title("Matched Filtering Spectrum");
grid on;

figure;
subplot(2, 1, 1);
plot(original_bits(1:100));
hold on;
stem(original_bits(1:100), "r", "LineStyle", "none", "Marker", "o");
title('Original Bits (First 100)');
subplot(2, 1, 2);
plot(bits_recovered(1:100));
hold on;
stem(bits_recovered(1:100), "r", "LineStyle", "none", "Marker", "o");
title('Recovered Bits (First 100)');
  • MATLAB 仿真代码（GPU 版）
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close all; clear; clc;

if gpuDeviceCount > 0
    gpuDevice(1);
    fprintf('Using GPU: %s\n', gpuDevice().Name);
else
    error('No GPU detected!');
end

tic;

% FIXME System Parameters
fs = 122.88e6;
Rs = 3.072e6;
Rb = Rs; Ts = 1 / Rs;
% fc = 2e9;

usmp_rate = floor(fs / Rs);

num = 10000000;
b = gpuArray(1 - 2 * randi([0 1], 1, num));

%% Send
beta = 0.1; span = 12;
sps = usmp_rate;
h = gpuArray(rcosdesign(beta, span, sps, "sqrt"));

baseband_tx = conv(upsample(b, usmp_rate), h, "same");

toc;

% t = (1 : length(baseband_tx)) / fs;
% carrier = cos(2 * pi * fc * t);
% tx_wave = baseband_tx .* carrier;
%
% toc;

%% Channel
Ebn0_dB = 10;
SNR_dB = Ebn0_dB - 10 * log10(usmp_rate / 2);
signal_power = mean(abs(baseband_tx).^2);
noise_power = signal_power / (10^(SNR_dB/10));
noise = sqrt(noise_power) * randn(size(baseband_tx), 'gpuArray');
rx_wave = baseband_tx + noise;

toc;

%% Recv
% % Coherent Demodulation
% local_carrier = 2 * carrier;
% demod_wave = rx_wave .* local_carrier;

% Matched Filtering
baseband_rx = conv(rx_wave, h, "same");

% Sampling and Decision
samples = baseband_rx(1 : sps : end);
bits_recovered = double(samples < 0);

toc;

original_bits = (b < 0);
bits_recovered = gather(bits_recovered);
baseband_tx = gather(baseband_tx);
baseband_rx = gather(baseband_rx);
err = sum(original_bits(1:num) ~= bits_recovered(1:num));
fprintf('Bit error rate: %d\n', err / num);

%% Figure
N = 65536;
t = (1 : length(baseband_tx)) / fs;
% Send
figure;
subplot(2, 1, 1);
plot(t, baseband_tx);
xlabel("Time (s)"); ylabel("Amplitude");
title("BPSK Baseband Signal");
grid on;

subplot(2, 1, 2);
f = (-fs/2 : fs/N : fs/2-fs/N);
plot(f, 10 * log10(abs(fftshift(fft(baseband_tx, N)))));
xlabel("Frequency (Hz)"); ylabel("Amplitude (dB)");
title("BPSK Baseband Spectrum");
grid on;

% Recv
figure;
% subplot(2, 2, 1);
% plot(t, demod_wave);
% xlabel("Time (s)"); ylabel("Amplitude");
% title("Coherent Demodulation Signal");
% grid on;

subplot(2, 1, 1);
plot(t, baseband_rx);
xlabel("Time (s)"); ylabel("Amplitude");
title("Matched Filtering Signal");
grid on;

% subplot(2, 2, 3);
% f = (-fs/2 : fs/N : fs/2-fs/N);
% plot(f, 10 * log10(abs(fftshift(fft(demod_wave, N)))));
% xlabel("Frequency (Hz)"); ylabel("Amplitude (dB)");
% title("Coherent Demodulation Spectrum");
% grid on;

subplot(2, 1, 2);
f = (-fs/2 : fs/N : fs/2-fs/N);
plot(f, 10 * log10(abs(fftshift(fft(baseband_rx, N)))));
xlabel("Frequency (Hz)"); ylabel("Amplitude (dB)");
title("Matched Filtering Spectrum");
grid on;

figure;
subplot(2, 1, 1);
plot(original_bits(1:100));
hold on;
stem(original_bits(1:100), "r", "LineStyle", "none", "Marker", "o");
title('Original Bits (First 100)');
subplot(2, 1, 2);
plot(bits_recovered(1:100));
hold on;
stem(bits_recovered(1:100), "r", "LineStyle", "none", "Marker", "o");
title('Recovered Bits (First 100)');

参考资料