离散傅里叶变换（DFT）

预备知识

傅里叶级数

傅里叶变换是 以时间 为自变量的时域信号 和 以频率 为自变量的频域函数 之间的变换关系。

对于周期为 的连续时间信号 ，其频谱 是离散非周期函数

其中 为离散频谱两谱线间的角频率间隔， 为谐波序号。

对于连续的非周期时间信号 ，其频谱 是一个连续的非周期函数。满足

对于离散非周期信号，其频谱 是连续周期信号

其中 是数字角频率，满足 。

可以看出，时间域的周期造成频谱的离散，时间域的非周期造成频谱的连续。

不过，上面的三种傅里叶变换总有一个域是连续的，这不能利用计算机辅助计算。

周期序列的离散傅里叶级数（DFS）

离散非周期信号的频谱是连续的，将连续的傅里叶变换 点采样后，频域离散，时域周期延拓。因此，离散傅里叶级数对周期序列才存在。

设 是周期为 的一个离散周期序列

由离散时间傅里叶变换（DTFT）可知，该周期序列可以表示为

其中 是离散傅里叶级数的系数，

并且

也是周期序列。因此，时域的离散周期序列的离散傅里叶级数（DFS）在频域也是离散的周期序列。

令 ，离散傅里叶级数可表示为

连续周期信号与离散周期序列的对比
分类 基频序列 周期 基频 次谐波序列
连续周期
离散周期

由于 ，离散傅里叶级数的所有谐波成分中只有 个是独立的，因此在展开成离散傅里叶级数时，只能取 个独立的谐波分量。

有限长序列的离散傅里叶变换（DFT）

将长度为 的有限长序列 看作是周期为 的周期序列的一个周期，计算该周期序列的离散傅里叶级数，即可得到有限长序列的离散傅里叶变换。

也可以表示为周期延拓或时窗运算

可以得到有限长序列的离散傅里叶变换为

有限长序列 的 DFT ，就是 的周期延拓序列 的 DFS 系数 的主值序列。DFT 的时域与频域都是有限长序列，方便用计算机表示。

频域采样（频域采样点数 的选取）

设时域周期序列 的周期为 ，

将 带入上式，得到

其中，当 时

则

说明，频域 点采样等价于时域上以 为周期延拓，因此 时，时域不发生混叠。

  • 循环移位性质

频域移位点数 与对应的 时域频偏频率 的关系：

假设捕获模块的输入信号时经过 倍内插的信号，即 ，则在频域进行 点循环移位对应时域生成的载波为

其中 表示扩频比， 为内插系数， 为采样频率， 为码片速率， 为符号速率。

可以得到结论：频域循环移位 点对应时域乘以频率为为 的载波.

  • 共轭对称性（类似于偶对称和奇对称）

在 DFT 中，涉及的序列 和 均为有限长序列，主值区间为 ，这里的对称性指的是关于 的圆周对称，长度为 的有限长序列 的圆周共轭对称分量 和圆周共轭反对称分量 分别定义为

满足

因此，任何有限长序列都可分解为圆周共轭对称分量 和圆周共轭反对称分量 的和，

其中

则

同理，将 表示为 ，其中

则

DFT 与 DTFT、ZT 的关系

已知 为 点有限长序列，则 的 变换为

DTFT 为

DFT 为

有限长序列 的 DTFT 是单位圆上的 变换， 是连续的，体现出 DTFT 是以 为周期的连续谱。

有限长序列 的 DFT 是对 在单位圆上进行 点的等间隔采样，也是 DTFT 一个周期 上的 点等间隔采样。

如果频域采样满足频域采样定理（频域采样点数 不小于时域序列长度 ），就可以用频域采样值恢复序列的 变换，

令 ， 可以表示为

函数 有一个极点 ， 个零点 ，因此内插函数 在除了 的其它 个采样点均为 ，

同理，

其中 为内插函数，满足

，

也就是每个采样点上的 的值等于 ，即 ，各个采样点之间的值由各采样点的加权内插函数 在所求 点上的值叠加得到。

interpolation

由内插函数求频率响应

频域内插（与 卷积），等价于时域截断（加矩形窗）

线性卷积与线性相关

周期卷积

设 与 都是以 为周期的序列，DFS 分别为 和 ，若

则

圆周卷积（循环卷积）

设当 与 都是长度为 的有限长序列，DFT 分别为 和 ，若

则

记作 .

当信号通过线性时不变系统时，系统的输出 时输入 与单位脉冲响应 的线性卷积，即 ，当 和 均为有限长序列时，可以考虑用圆周卷积代替线性卷积，下面分析代替的条件：

设序列 和 分别是长度为 和 的有限长序列，设 是两者的线性卷积

则 是长度为 的有限长序列。

设 是两者的 点圆周卷积

因此， 点圆周卷积 是线性卷积 以 为周期延拓序列的主值序列，且不失真的条件是

circ_conv

圆周卷积代替线性卷积

谱分析

对于时域连续的非周期信号 ，其 CTFT 为

频谱泄漏

理论分析

实际要把观测的信号 限制在一定的时间间隔内，时域截断数学上表示为无限长时间序列乘以窗函数，频域上是两者频谱的卷积，由于窗函数不能无限宽，频谱不是冲激函数，因此，时域截断必然会造成频谱展宽（拖尾），造成频谱泄漏。

以正弦信号 为例，先对其采样，采样频率为 ，

做 DFT，得到

是 的频谱以 为周期进行延拓的结果。

则 ，其中 是样本的长度，并且，对于正弦信号，，则有

因此，当样本的长度为信号周期的整数倍时，DFT 能正确分析频谱。否则，会因为对信号的不当截断造成频谱泄漏。

MATLAB 仿真

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tic;

% FIXME System Parameters
fs = 160e3;
t_total = 1;

% Taking single tone signal as an example
fc = 20e3;
t = 0 : 1/fs : t_total - 1/fs;
s = cos(2 *pi* fc * t);

% FIXME Hamming Window Function (or Bartlett, Hanning, Blackman et al.)
N = 2048;  % FIXME The number of FFT points
hamming_window = hamming(length(s));
s_truncated = s .* hamming_window';

f = (-fs/2 : fs/N : fs/2 - fs/N);
S = 10 * log10(abs(fftshift(fft(s, N))) /N);
Hamming_window = 10 * log10(abs(fftshift(fft(hamming_window, N))));
S_truncated  = 10 * log10(abs(fftshift(fft(s_truncated , N))));


figure;
subplot(3, 2, 1);
plot(t, s);
xlabel("Time (s)"); ylabel("Amplitude");
title("The Original Signal"); grid on;

subplot(3, 2, 2);
plot(f, S);
xlabel("Frequency (Hz)"); ylabel("Amplitude (dB)");
title("Spectrum of the Original Signal"); grid on;

subplot(3, 2, 3);
plot(t, hamming_window);
xlabel("Time (s)"); ylabel("Amplitude");
title("Hamming Window"); grid on;

subplot(3, 2, 4);
plot(f, Hamming_window);
xlabel("Frequency (Hz)"); ylabel("Amplitude (dB)");
title("Spectrum of Hamming Window"); grid on;


subplot(3, 2, 5);
plot(t, s_truncated);
xlabel("Time (s)"); ylabel("Amplitude");
title("The Truncated Signal"); grid on;

subplot(3, 2, 6);
plot(f, S_truncated);
xlabel("Frequency (Hz)"); ylabel("Amplitude (dB)");
title("Spectrum of the Truncated Signal"); grid on;

sgtitle("Simulation of Spectrum Leakage");

toc;

栅栏效应

理论分析

点 DFT 是将 周期分成 份，在 这几个离散的 栅栏点 上观察一个周期。

考虑一个 点的时域序列 ，其 DFT 为

其中 ，对该时域序列的末尾补 个 ，得到新的时域序列

其中 ，补零后的 DFT 为

可以发现 与 仅是点数不同，即频率的分辨率不同。

当 时，有

表征补零前后的频谱谱线有相同的频点，在该频点处原信号的幅值被保留，如果补零前后没有相同的频点，则原频点只能由补零后的其它频点合成，能量也就被分散到那些频点上，发生 频谱泄漏。

末尾补零本质上是在增加频率的分辨率，当用 FFT 观察一个离散信号的频谱时，实际是在观察一个连续谱的一些离散点，就像是透过 栅栏 观察频谱。

MATLAB 仿真

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close all; clear; clc;

tic;

% FIXME System Parameters
fs = 1e6;
t_total = 1;

% Taking the dual-tone signal as an example
fc1 = 5e3; fc2 = 6e3;  % FIXME
t = 0 : 1/fs : t_total - 1/fs;
s = cos(2 * pi * fc1 * t) + cos(2 * pi * fc2 * t);
f = (-fs/2 : fs/length(s) : fs/2 - fs/length(s));
S = 10 * log10(abs(fftshift(fft(s))));

figure;
subplot(2, 1, 1);
plot(t, s);
xlabel("Time (s)"); ylabel("Amplitude");
title("The Original Signal"); grid on;

subplot(2, 1, 2);
plot(f, S);
xlabel("Frequency (Hz)"); ylabel("Amplitude (dB)");
title("Spectrum of the Original Signal"); grid on;


N = 2048;  % FIXME The number of FFT points
f_2048 = (-fs/2 : fs/N : fs/2 - fs/N);
S_2048 = 10 * log10(abs(fftshift(fft(s, N))));

N = 1024;
f_1024 = (-fs/2 : fs/N : fs/2 - fs/N);
S_1024 = 10 * log10(abs(fftshift(fft(s, N))));

% After padding zero at the end
N = 2048;
f_zero_padding = (-fs/2 : fs/N : fs/2 - fs/N);
s = [s(1:1024) zeros(1, 1024)];
S_zero_padding = 10 * log10(abs(fftshift(fft(s, N))));

figure;
subplot(3, 1, 1);
plot(f_2048, S_2048);
xlabel("Frequency (Hz)"); ylabel("Amplitude (dB)");
title("Spectrum of the Original Signal ((FFT-2048)"); grid on;

subplot(3, 1, 2);
plot(f_1024, S_1024);
xlabel("Frequency (Hz)"); ylabel("Amplitude (dB)");
title("Spectrum of the Original Signal (FFT-1024)"); grid on;

subplot(3, 1, 3);
plot(f_zero_padding, S_zero_padding);
xlabel("Frequency (Hz)"); ylabel("Amplitude (dB)");
title("Spectrum of the Zero-padding Signal (FFT-2048)"); grid on;

sgtitle("Simulation of Fence Effect");

toc;

内插与抽取

在原有的离散数据间插入 个数据，实现对数据的上采样，具体实现流程为 插值 和 滤波。

假设原数据为 ，经过 倍上采样后得到 .

原数据的 DFT 为

经过上采样的数据 的 DFT 为

由此可知， 是由原频谱 复制 次的结果。