频偏对相关峰高度的影响

m 序列·

m 序列长度为 $2^n-1$，具有强自相关性和低互相关性，具体体现为对极化之后相关运算的峰均比。

m 序列由线性反馈移位寄存器（Linear Feedback Shift Register，LFSR）生成，，取决于 LFSR 的阶数和生成种子（寄存器初始状态）。

• 阶数

例如阶数为 $6$ 时，本原多项式 为 $x^6+x+1$，则多项式共有 $7$ 位，对应 LSFR 有 $6$ 个寄存器，

阶数为 6 的 LFSR

• 生成种子

生成种子不能为全 $0$，否则输出永远是 $0$.

MATLAB 仿真程序如下

function [pn] = mseq(coe)
    len = 2 ^ (length(coe) - 1)-1;
    pn = zeros(1, len);

    lfsr = randi([0 1], 1, (length(coe) - 1));
    % lfsr = [zeros(1, length(coe) - 2) 1];
    for i = 1: len
        pn(i) = lfsr(end);
        lfsr_front = 0;
        for j = (length(coe) - 1): -1: 1
            lfsr_front = lfsr_front + coe(j + 1) * lfsr(j);
        end
        lfsr_front = mod(sum(lfsr_front), 2);
        lfsr = [lfsr_front lfsr(1: end - 1)];
    end
end

相关峰·

在接收机的捕获模块中，以相关峰高度作为捕获性能的衡量指标，当接收信号的相位与本地码相位对齐时，相关运算的结果会出现较大的相关峰，但如果存在频偏，会导致相关峰高度下降。下面推导相关峰高度与频偏的关系：

设捕获模块的输入信号的一个符号为 $r$，它被扩展为 $N$ 个码片，忽略随机时延，即与本地 PN 码相位对齐时，时域表达式为

$$r(n) = s(n) e^{j2\pi\Delta f n T_s} + w(n)$$

式中，$s(n)$ 表示本地参考信号，$w(n)$ 表示离散的加性高斯白噪声，$\Delta f$ 表示频偏，$T_s=\dfrac{1}{f_s}$ 表示采样周期。

$$s(n) = \left\{ \begin{aligned} & A, 0\leq n\leq N - 1 \\ & 0, else \end{aligned} \right.$$

捕获的输入信号与本地参考信号的相关结果为

$$R(\Delta f) = \sum_{n = 0}^{N - 1} r(n)\cdot s^*(n)$$

忽略噪声项

$$R(\Delta f) = \sum_{n = 0}^{N - 1} |s(n)|^2 e^{j2\pi \Delta f n T_s}$$

$|s(n)|^2 = A^2$，带入上式中得

$$\begin{aligned} R(\Delta f) &= A^2 \sum_{n = 0}^{N - 1} e^{j2\pi \Delta f n T_s}\\ &= A^2\dfrac{1 - e^{j2\pi \Delta f T_s N}}{1 - e^{j2\pi\Delta f T_s}}\\ &= A^2 e^{j\frac{2\pi \Delta f T_s}{2}(N - 1)}\dfrac{\sin{(\frac{2\pi\Delta f T_s}{2}N})}{\sin{(\frac{2\pi\Delta f T_s}{2}})}\\ \end{aligned}$$

$$|R(\Delta f)| = A^2 \left| \dfrac{\sin{(\frac{2\pi\Delta f T_s}{2}N})}{\sin{(\frac{2\pi \Delta f T_s}{2}})}\right|$$

当 $\Delta f$ 远小于采样率 $f_s$ 时，$|R(\Delta f)|$ 近似为

$$\begin{aligned} \lim_{\Delta f \to 0} { |R(\Delta f)| } & = A^2 N \dfrac{ \sin{(\pi \Delta f T_s N)} }{ \pi \Delta f T_s N }\\ & = |R(0)| \cdot |\text{sinc}{(\pi \Delta f T_s N)}|\\ \end{aligned}$$

当 $\Delta f = 0$ 时，峰值位置 $|R(0)| = A^2N$，零点位置对应

$$\Delta f = \dfrac{k}{T_s N} = \dfrac{kf_s}{N}, k = \pm1, \pm 2, \cdots$$

由此可以得出，相关峰随频偏的变化满足 $\text{sinc}$ 函数，并且当频偏为 $R_s$ 的整数倍时，相关峰高度为 $0$，MATLAB 仿真结果如图所示

在捕获模块频偏搜索的精度选择上，如果以 $R_s$ 为步进设置频偏通道，在 $0.5R_s$ 的奇数倍时相关峰高度最低，为无频偏位置的 $63.66\%$，性能损失较大，如果以 $0.5R_s$ 为步进设置频偏通道，在 $0.25R_s$ 的奇数倍时相关峰高度最低，为无频偏位置的 $90.03\%$，性能损失较低，因此，综合捕获性能与资源消耗的考量，选择以 $0.5R_s$ 作为频偏搜索精度。