正交频分复用(OFDM)

频率选择性衰落

发送端喝接收端之间有多条路径，每条路径的衰减不同，时延不同。设发送端发射信号为 ，接收端收到的信号

则信道的频谱函数为

假设传播的路径只有两条，

由上式可知 随着 变化而变化，表现为频率选择性衰落。如果信号带宽大于信道带宽，一些频率的信号被严重衰减，使得整体信号发生畸变。

OFDM 的正交性

如果信号带宽小于信道带宽，那么传输过程中受到的信道的传输函数是相似的，没有频率选择性衰落，但是信号带宽小，传输速率低。

宽带通信要克服 信号带宽大于信道带宽 的情况。为了既能高速传输数据，又能抵抗频率选择性衰落，可以将高速数据分成多个低速的多路数据，通过多路载波发送，到了接收端再合成一路。而一般的频分复用，频带利用率较低，正交频分复用使用尽可能紧邻的正交子载波，可以 提高频带利用率，并且能够 对抗频率选择性衰落。可以验证，下面一组载波是相互正交的

所以我们可以从这些载波中挑出一些构造 OFDM：先将谁进行串并转换，将高速数据转化为多路低速数据，然后分别调制到不同的载波上，相加后经过信道送出；接收端使用相关接收（对应子载波的信号相乘后才有输出，别的子载波信号与其正交，输出为 ）经过调制后，频谱被搬移到各载波的中心频率上，经过相加后，合成频谱如下图

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NoOfCarriers = 11;  % 载波数量（奇数）
iMin = -(NoOfCarriers-1)/2;   
iMax = (NoOfCarriers-1)/2;  
f = -10:0.01:10;               
fList = zeros(1,NoOfCarriers); 
cList = zeros(1,NoOfCarriers); 
for i=iMin:1:iMax
    fshift = i ;
    c = sinc(f - fshift);
    fList(i+NoOfCarriers) =  fshift;
    cList(i+NoOfCarriers) = max(c);
    plot(f,c,'linewidth',1.5);
    hold on;
    stem(i ,1,'r-','linewidth',1.5);
end
xlabel("频率 MHz"); grid(); hold off;

为了实现每个子信道频谱的最大值处，其它子信道频谱恰好为 ，要满足 相邻子载波之间的频率间隔要等于输入码元持续时间的倒数。

OFDM 调制与解调

将带宽为 的载波划分成 个带宽为 的正交子载波，如果第一个载波的中心频率是 ，第 个载波的中心频率是 ，将符号 调制到第 个载波上。得到传输符号 ，累加所有载波上的信号得到最终的发送信号

当接收端接收到信号 后，可以采用以下方法确定载波 上的符号 .

其中 可以视为对基带信号 在发射前的进一步载波调制，但是载波数量很大时，产生 的成本很高，需要使用时间间隔为 对其采样，第 个采样样本为

在 OFDM 中传输的是对连续信号 的 个采样点，当接收端接收到 ，对这 个点做离散傅里叶变换后得到序列

循环前缀

多径效应的影响

信号通过多径传输时，信道长度不同，到达接收端的时间不同，可能造成码间串扰。（假设发射信号为 ，信道为 ，当信号通过信道后，接收端得到 ，长度为 ，接收端在处理了 个信号时，还有 个未处理，此时又收到来自发送端的信号，对第一个信号产生影响。）

循环卷积：

当 时，循环卷积与线性卷积结果相同。

在 OFDM 中，符号 经过 IFFT 后变成 ，经过信道后，接受端接收 ，如果将线性卷积变为循环卷积，就可以利用 DFT 得到 ，其中 可以利用信道估计得到。

循环前缀

设发送信号的长度为 ，信道响应的长度为 循环前缀的长度为 ，则接收端接收的信号长度为 ，如果 ，接收得到 不受 ISI 的影响。

第二个信号加长 （将发射信号 的后 个复制到 的前面）时得到新的信号

参考资料