傅里叶级数

信号在正交集中的分解

矢量分解

为了方便理解，先从矢量分解说起，

单矢量基底

如左图，使 近似于矢量 ，误差尽可能的小（定义误差为 的模长），可以得到使误差最小的系数为

如果系数 ，则说明 与 垂直（正交）。

多矢量基底

为了将误差进一步缩小，现在用多个矢量的线性组合近似表示矢量

一般情况下，如果 的方向未知，某一个矢量基底的系数不仅与这个矢量有关，还与其它矢量基底的角度有关；如果满足矢量 两两正交，则可以证明

信号分解

与矢量分解类似推导信号分解

单标准信号

在时间范围 内，用 近似函数 ，并使得误差最小

此处误差讨论方均误差

与矢量分解类似，可以求得系数

如果 ，则称函数 与 正交。

多标准信号

现在用多个标准信号的线性组合来近似表示信号

当 两两正交时，可以证明

综上，矢量与函数的运算和分解如下

矢量 函数
“乘法”
正交
误差
误差代价
相似系数

信号的傅里叶级数表示

三角函数形式的傅里叶级数表示

选择一个正交函数集 ，其中

为什么不选泰勒级数呢，我算它应该是不正交的

下面说明该函数集的几个性质

  1. 正交性：函数两两正交

  1. 当 时，；当 时，

此时，可以将任意函数 在这个正交函数集中展开，即表示成多个正（余）弦函数的线性组合

其中系数可以根据上文表格中的表达式求出

不过，为了表达方便，可以将分解式改写为下面表达式（把直流分量 改为 ）

则系数为

表达式右边是多个周期为 的函数的和，仍然是周期为 的函数；这种分解可以用来研究时间区间 内的信号分解，也可以研究周期为 的函数在整个时间区间的信号分解。

令 ，则上面的分解可以表达为

可以将它看成是 平移之后的线性组合。

不清楚为啥大学教材这么喜欢用 函数，感觉相位前面加个负号就很奇怪

其中 称为信号的直流分量，或 称为信号的基波分量；或 称为信号的 次谐波分量。

复数形式的傅里叶级数表示

选择正交函数集为 ，得到级数展开式为

得到其中的系数

推导过程如下：

令，令其中，

奇偶性

任何函数都可以写成奇函数和偶函数的和：

  • 如果信号函数是偶函数，则傅里叶级数中只有直流分量和余弦分量；

  • 如果信号函数是奇函数，则傅里叶级数中只有正弦分量；

  • 奇谐函数的傅里叶记住中只有奇次谐波分量；偶谐函数的傅里叶级数中只有直流和偶次谐波分量。