信号在正交集中的分解·

矢量分解·

为了方便理解，先从矢量分解说起，

单矢量基底

如左图，使 λ1x1→\lambda_1\overrightarrow{x_1} 近似于矢量 a→\overrightarrow{a}，误差尽可能的小（定义误差为 a−λ1x1→\overrightarrow{a-\lambda_1 x_1} 的模长），可以得到使误差最小的系数为

λ1=a→⋅x1→x1→⋅x1→\lambda_1 = \dfrac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{x_1}}{\overrightarrow{x_1}\cdot\overrightarrow{x_1}}

如果系数 λ=0\lambda = 0，则说明 a→\overrightarrow{a} 与 x1→\overrightarrow{x_1} 垂直（正交）。

多矢量基底

为了将误差进一步缩小，现在用多个矢量的线性组合近似表示矢量 a→\overrightarrow{a}

a=∑i=1nλixia = \sum_{i = 1}^{n}\lambda_i x_i

一般情况下，如果 xi→\overrightarrow{x_i} 的方向未知，某一个矢量基底的系数不仅与这个矢量有关，还与其它矢量基底的角度有关；如果满足矢量 x→\overrightarrow{x} 两两正交，则可以证明 λi=a→⋅xi→xi→⋅xi→\lambda_i = \dfrac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{x_i}}{\overrightarrow{x_i}\cdot\overrightarrow{x_i}}

信号分解·

与矢量分解类似推导信号分解

单标准信号

在时间范围 (t1,t2)(t_1, t_2) 内，用 c1f1(t)c_1f_1(t) 近似函数 f(t)f(t)，并使得误差最小

此处误差讨论方均误差 ε2(t)‾=1t2−t1∫t1t2∣ε(t)∣2dt=1t2−t1∫t1t2ε(t)⋅ε∗(t)dt\overline{\varepsilon^2(t)} = \dfrac{1}{t_2-t_1}\displaystyle \int_{t_1}^{t_2}\lvert\varepsilon(t)\rvert^2 dt = \dfrac{1}{t_2-t_1}\displaystyle \int_{t_1}^{t_2}\varepsilon(t)\cdot\varepsilon^*(t) dt

与矢量分解类似，可以求得系数

c1=∫t1t2f(t)f1∗(t)dt∫t1t2f1(t)f1∗(t)dtc_1 = \dfrac{\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}f(t)f_1^*(t)dt}{\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}f_1(t)f_1^*(t)dt}

如果 c=0c=0，则称函数 f(t)f(t) 与 f1(t)f_1(t) 正交。

多标准信号

现在用多个标准信号的线性组合来近似表示信号 f(t)f(t)

f(t)=∑i=1ncifi(t)f(t) = \sum_{i = 1}^n c_i f_i(t)

当 fi(t)f_i(t) 两两正交时，可以证明 ci=∫t1t2f(t)fi∗(t)dt∫t1t2fi(t)fi∗(t)dtc_i = \dfrac{\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}f(t)f_i^*(t)dt}{\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}f_i(t)f_i^*(t)dt}

综上，矢量与函数的运算和分解如下

矢量 函数
“乘法” x1⋅x2=∣x1∣⋅∣x2∣cos⁡αx_1\cdot x_2 = \lvert x_1 \rvert\cdot \lvert x_2 \rvert\cos \alpha ∫t1t2f1(t)⋅f2∗(t)dt\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}f_1(t)\cdot f_2^*(t)dt
正交 x1⋅x2=0x_1\cdot x_2 =0 ∫t1t2f1(t)⋅f2∗(t)dt=0\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}f_1(t)\cdot f_2^*(t)dt=0
误差 ε=x1−x2\varepsilon = x_1 - x_2 ε(t)=f1(t)−f2(t)\varepsilon(t) = f_1(t) - f_2(t)
误差代价 ∣ε∣2\lvert\varepsilon\rvert^2 ε2(t)‾=1t2−t1∫t1t2∣ε(t)∣2dt\overline{\varepsilon^2(t)} = \dfrac{1}{t_2-t_1}\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\lvert\varepsilon(t)\rvert^2 dt
相似系数 λ1=a→⋅x1→x1→⋅x1→\lambda_1 = \dfrac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{x_1}}{\overrightarrow{x_1}\cdot\overrightarrow{x_1}} c1=∫t1t2f(t)f1∗(t)dt∫t1t2f1(t)f1∗(t)dtc_1 = \dfrac{\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}f(t)f_1^*(t)dt}{\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}f_1(t)f_1^*(t)dt}

信号的傅里叶级数表示·

三角函数形式的傅里叶级数表示·

选择一个正交函数集 {1,cos⁡ωt,sin⁡ωt,cos⁡2ωt,sin⁡2ωt,⋯ ,cos⁡kωt,sin⁡kωt}\{1,\cos\omega t, \sin\omega t, \cos2\omega t,\sin2\omega t, \cdots, \cos k \omega t, \sin k\omega t\}，其中 ω=2πT=2πt2−t1\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{t_2-t_1}

为什么不选泰勒级数呢，我算它应该是不正交的

下面说明该函数集的几个性质

  1. 正交性：函数两两正交

∫t1t2cos⁡(mωt)sin⁡(nωt)dt=0∫t1t2cos⁡(mωt)cos⁡(nωt)dt=0∫t1t2sin⁡(mωt)sin⁡(nωt)dt=0}m≠n\begin{aligned} &\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\cos(m\omega t)\sin(n\omega t)dt = 0\\ &\left. \begin{aligned} \displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\cos(m\omega t)\cos(n\omega t)dt = 0\\ \displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\sin(m\omega t)\sin(n\omega t)dt = 0\\ \end{aligned} \quad \right\}m\not = n \end{aligned}

  1. 当 n≠0n\not=0 时，∫t1t2cos⁡2(nωt)dt=∫t1t2sin⁡2(nωt)dt=T2=t2−t12\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\cos^2(n\omega t)dt = \displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\sin^2(n\omega t)dt = \dfrac{T}{2} = \dfrac{t_2 - t_1}{2}；当 n=0n=0 时，∫t1t21dt=T=t2−t1\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}1dt = T = t_2 - t_1

此时，可以将任意函数 f(t)f(t) 在这个正交函数集中展开，即表示成多个正（余）弦函数的线性组合

f(t)=a0+a1cos⁡ωt+a2cos⁡2ωt+⋯+ancos⁡nωt+⋯+b1sin⁡ωt+b2sin⁡2ωt+⋯+bnsin⁡nωt+⋯f(t) = a_0 + a_1\cos\omega t + a_2\cos2\omega t + \cdots + a_n\cos n\omega t + \cdots + b_1\sin\omega t + b_2\sin2\omega t + \cdots + b_n \sin n\omega t + \cdots

其中系数可以根据上文表格中的表达式求出

an=∫t1t2f(t)cos⁡(nωt)dt∫t1t2cos⁡2(nωt)dt={2t2−t1∫t1t2f(t)cos⁡(nωt)dtn≠01t2−t1∫t1t2f(t)dtn=0bn=∫t1t2f(t)sin⁡(nωt)dt∫t1t2sin⁡2(nωt)dt=2t2−t1∫t1t2f(t)sin⁡(nωt)dt\begin{aligned} &a_n = \dfrac{\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}f(t)\cos(n \omega t)dt}{\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\cos^2(n \omega t)dt} = \left\{ \begin{aligned} &\dfrac{2}{t_2 - t_1} \displaystyle\int_{t_1}^{t_2}f(t)\cos(n \omega t)dt &n \not = 0\\ &\dfrac{1}{t_2 - t_1} \displaystyle\int_{t_1}^{t_2}f(t)dt &n = 0 \end{aligned} \right.\\ &b_n = \dfrac{\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}f(t)\sin(n \omega t)dt}{\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\sin^2(n \omega t)dt} = \dfrac{2}{t_2 - t_1} \displaystyle\int_{t_1}^{t_2}f(t)\sin(n \omega t)dt \end{aligned}

不过，为了表达方便，可以将分解式改写为下面表达式（把直流分量 a0a_0 改为 a02\dfrac{a_0}{2}）

f(t)=a02+∑n=1+∞(ancos⁡(nωt)+bnsin⁡(nωt))f(t) = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty}(a_n \cos(n\omega t) + b_n\sin(n\omega t))

则系数为

an=2t2−t1∫t1t2f(t)cos⁡(nωt)dtbn=2t2−t1∫t1t2f(t)sin⁡(nωt)dt\begin{aligned} &a_n = \dfrac{2}{t_2 - t_1} \displaystyle\int_{t_1}^{t_2}f(t)\cos(n \omega t)dt\\ &b_n = \dfrac{2}{t_2 - t_1} \displaystyle\int_{t_1}^{t_2}f(t)\sin(n \omega t)dt \end{aligned}

表达式右边是多个周期为 TT 的函数的和，仍然是周期为 TT 的函数；这种分解可以用来研究时间区间 (t1,t2)(t_1, t_2) 内的信号分解，也可以研究周期为 TT 的函数在整个时间区间的信号分解。

令 An=an2+bn2,φn=−arctan⁡bnanA_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2}, \varphi_n = -\arctan\dfrac{b_n}{a_n}，则上面的分解可以表达为

f(t)=a02+∑n=1+∞Ancos⁡(nωt+φn)f(t) = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty}A_n\cos(n\omega t + \varphi_n)

可以将它看成是 {cos⁡(nωt)∣n=0,1,2,3,⋯ }\{\cos(n\omega t)|n=0,1,2,3,\cdots \} 平移之后的线性组合。

不清楚为啥大学教材这么喜欢用 cos⁡\cos 函数，感觉相位前面加个负号就很奇怪

其中 a02\dfrac{a_0}{2} 称为信号的直流分量，a1cos⁡ωt,b1sin⁡ωta_1\cos\omega t,b_1\sin\omega t 或 A1cos⁡(ωt+φ1)A_1\cos(\omega t + \varphi_1) 称为信号的基波分量；ancos⁡(nωt),bnsin⁡(nωt)a_n\cos(n\omega t),b_n\sin(n\omega t) 或 Ancos⁡(nωt+φn)A_n\cos(n\omega t + \varphi_n) 称为信号的 nn 次谐波分量。

复数形式的傅里叶级数表示·

选择正交函数集为 {1,ejωt,eh2ωt,⋯ ,ejnωt,⋯ }\{1,e^{j\omega t}, e^{h2\omega t}, \cdots, e^{jn\omega t}, \cdots\}，得到级数展开式为

f(t)=∑n=−∞+∞(cn⋅ej(nωt))f(t) = \displaystyle\sum_{n =-\infty}^{+\infty}(c_n\cdot e^{j(n\omega t)})

得到其中的系数

cn=∫t1t2f(t)(ejnωt)∗dt∫t1t2(ejnωt)(ejnωt)∗dt=1T∫t1t2f(t)e−jnωtdtc_n = \dfrac{\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}f(t)(e^{jn\omega t})^*dt}{\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}(e^{jn\omega t})(e^{jn\omega t})^* dt} = \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} f(t) e^{-jn\omega t}dt

推导过程如下：

f(t)=a02+∑n=1+∞Ancos⁡(nωt+φn)=a02+∑n=1+∞Anej(nωt+φn)+e−j(nωt+φn)2=a02+∑n=1+∞(An2ej(nωt+φn)+An2ej((−n)ωt+(−φn))令 φ−n=−φn,A−n=An,f(t)=a02+∑n=1+∞An2ej(nωt+φn)+∑n=−1−∞An2ej(nωt+φn)令 φ0=0,A0=a0,f(t)=12∑n=−∞+∞(Anejφn⋅ej(nωt))其中,Anejφn=an2+bn2(cos⁡φn+jsin⁡φn)=an−jbn=2T∫t1t2f(t)cos⁡(nωt)dt−j2T∫t1t2f(t)sin⁡(nωt)dt=2T∫t1t2f[t](cos⁡(nωt)−jsin⁡(nωt))dt=2T∫t1t2f(t)e−jnωtdt\begin{aligned} f(t) &= \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty}A_n\cos(n\omega t + \varphi_n)\\ &=\dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty}A_n\dfrac{e^{j(n\omega t + \varphi_n)} + e^{-j(n\omega t + \varphi_n)}}{2}\\ &= \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty}(\dfrac{A_n}{2}e^{j(n\omega t + \varphi_n)} +\dfrac{A_n}{2} e^{j((-n)\omega t + (-\varphi_n)})\\ \text{令 } \varphi_{-n} = -\varphi_n, A_{-n} = A_n,\\ f(t) &= \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty}\dfrac{A_n}{2}e^{j(n\omega t + \varphi_n)} + \displaystyle \sum_{n =-1}^{-\infty}\dfrac{A_n}{2}e^{j(n\omega t + \varphi_n)}\\ \text{令 } \varphi_0 = 0, A_0 = a_0,\\ f(t) &= \dfrac{1}{2} \displaystyle\sum_{n =-\infty}^{+\infty}(A_n e^{j\varphi_n} \cdot e^{j(n\omega t)})\\ \text{其中}, A_n e^{j\varphi_n} &= \sqrt{a_n^2 + b_n^2}(\cos\varphi_n + j\sin\varphi_n) \\ &= a_n -jb_n\\ &= \dfrac{2}{T}\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}f(t)\cos(n \omega t)dt -j\dfrac{2}{T}\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}f(t)\sin(n \omega t)dt\\ &=\dfrac{2}{T}\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}f [t](\cos(n\omega t) - j\sin(n\omega t))dt\\ &= \dfrac{2}{T} \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} f(t)e^{-jn\omega t}dt\\ \end{aligned}

奇偶性·

任何函数都可以写成奇函数和偶函数的和：

  • 如果信号函数是偶函数，则傅里叶级数中只有直流分量和余弦分量；

  • 如果信号函数是奇函数，则傅里叶级数中只有正弦分量；

  • 奇谐函数的傅里叶记住中只有奇次谐波分量；偶谐函数的傅里叶级数中只有直流和偶次谐波分量。