最大后验概率准则

对于数字通信系统来说，可靠性的评价标准是 误码率，接收机要做的是以最小的错误概率猜出接收到的比特是 1 还是 0.

对于一个二进制传输系统来说，误码率定义为

其中 和 是发送集合元素的 先验概率， 为发送 时，接收信号条件概率密度函数在判决区域 的积分， 同理。

最后，在先验概率一定的情况下，要想使得误码率 最小，需要让 越小越好，最好是绝对值很大的负数，于是得到条件

这种判定方法称为 最大后验概率准则 MAP.也就是说，最佳接受机可以等效于一个 AP计算器+比较器。

最佳接收机

某数字通信系统如下：

  • 发送端发射 元波形为 ；
  • 经过高斯白噪声信道（ 双边功率谱密度为 ），得到接收信号位

现在要设计一个接收机结构，使得接收错误概率最小。执行如下操作，若

判定接收到的符号为 .

下面使用“采样法”计算波形与波形的后验概率：

Anti-aliasing Filter

如图，经过一个通带增益为 ，通带为 的抗混叠滤波器，再经过采样以后，得到的波形变为离散序列 ，每个时域采样点可以表示为 .

其中，随机变量 服从高斯分布，，且 相互独立

于是，随机变量 的 维随机概率密度函数为

后验概率可以表示为

要对 （ 表示 元波形）进行 比较，不妨忽略与 无关的项，于是后验概率的比较可以改为比较

去掉与 无关的项，得到

（）

之前为了计算波形与波形的后验概率，用到了抗混叠滤波器，上式计算时将采样周期趋向于 ，也就是说不再需要抗混叠滤波器。

经过一番推导，收到接收信号 后，对 个 进行比较，等效于比较

据此构造出相关接收机结构为

MER

  • 各元素有相同能量 → 步骤 Ⅱ 可以省略；
  • 各元素先验概率相等 → 步骤 Ⅲ 可以省略；

匹配滤波器

最佳接收，目的是使错误概率达到最小，也就是误码率最小，而决定误码率的因素有信噪比（负相关）、码间串扰。匹配滤波器要实现 在抽样时刻，滤波器的输出信噪比最大。

常规的滤波器设计是采用 参数化设计，是一个不断优化参数的过程。而匹配滤波器是要 解出使信噪比最大的滤波器的方程。下面开始推导：

设时域确定性波形 ，经过一个恶心的信道，噪声是一个双边功率谱密度为 的高斯白噪声，则信噪比可以定义为

在 时刻抽样，现在要导出输出信噪比最大的 。其中输出波形 在 时刻为

噪声波形的功率 为

于是有 表达式如下：

量纲：

最终得到信噪比的最大值为 ，根据柯西……不等式取等条件有：

即为匹配滤波器的表达式。匹配滤波器实际上是原波形先翻转移位~而且可以发现，最大信噪比只与输入波形能量和噪声功率谱密度有关，与波形的形状无关！

那么波形的形状可以用来满足其它的要求，比如无码间串扰条件。

基于匹配滤波器的最佳接受机

将 相关器 用 匹配滤波器+采样 代替，即上面的步骤 Ⅰ 使用

相关器的输出信噪比仍满足 .