《阵列信号处理》学习笔记

假设一个 M 元阵列天线，信号形式为

其中 是 的信号矢量， 是 的导向矢量矩阵

协方差矩阵描述阵列接收数据各个通道之间相关性，定义为

如果信号与噪声互不相关，且噪声均匀独立同分布，那么

其中 为信号源协方差矩阵， 为噪声方差。对角元素表示阵元接收信号的平均功率，非对角元素表示不同阵元信号的互相关性。

实际上，只能采用采样数据近似计算协方差矩阵，

通过时间平均估计阵列数据的统计特性，其中 为快拍数，即采样点数。

MUSIC 算法

一种基于子空间分解的高分辨率波达方向（DOA）估计方法，由 Schmidt 等人于 1986 年提出。

R. Schmidt, "Multiple emitter location and signal parameter estimation," in IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol. 34, no. 3, pp. 276-280, March 1986, doi: 10.1109/TAP.1986.1143830.

将阵列接收数据的协方差矩阵特征值分解为 信号子空间 和 噪声子空间。

其中 是 个特征向量组成的酉矩阵， 是特征值的对角矩阵。由于协方差矩阵的前 个特征值对应真实信号（信号能量大于噪声能量），剩下的 个特征值接近噪声方差 ，于是就可以吧矩阵分解成两个正交的部分， 是信号子空间， 是噪声子空间，并且二者正交，信号子空间与噪声子空间相互独立。

由于信号子空间与噪声子空间正交，有

将 MUSIC 空间谱函数定义为

当 等于信号来向时，分母趋近于 0，谱函数出现峰值。

算法步骤如下

  1. 计算样本协方差矩阵：

  1. 对 进行特征值分解，得到特征值 和对应的特征向量 ；

  2. 确定信号子空间维数，信号子空间维数为 ，噪声子空间维数为 ；

  3. 构造噪声子空间矩阵

  1. 计算 MUSIC 谱，扫描方向 ，计算谱函数

  1. 寻找 个最高峰，对应的 即为 DOA 估计值；

ROOT-MUSIC 算法

噪声子空间与信号导向矢量正交，因此导向矢量在噪声子空间上的投影为 0，通过构造一个多项式，其根对应信号的方向，求根即可得到 DOA 估计。

考虑一个 M 元的均匀线阵，阵元间距为 d，假设有 K 个远场窄带信号入射 ，阵列接收信号的协方差矩阵为

其中 ，

对于均匀线阵，导向矢量为

令 ，则导向矢量改写为

在 MUSIC 算法中，空间谱函数是

由于 与 正交，分母理论上为 0，ROOT-MUSIC 将分母转化为多项式

当 时，。因此就可以通过求解多项式 的根估计 DOA。

算法步骤如下：

  1. 计算样本协方差矩阵：

  1. 对 进行特征值分解，得到特征值 和对应的特征向量 ；

  2. 确定信号子空间维数，信号子空间维数为 ，噪声子空间维数为 ；

  3. 构造噪声子空间矩阵

  1. 构造多项式系数，计算矩阵 ，将多项式 展开为

其中 是矩阵 的副对角线元素之和

  1. 求解多项式方程 的 个根
  2. 选择幅度接近（靠近单位圆）的 K 个根，这些根对应信号方向，设根 ，则 DOA 估计值为

其中 是根 的相位角。

算法对比

MUSIC ROOT-MUSIC
算法 网格搜索 直接解析求解
精度 受限与搜索网格的密度 理论精度较高
计算量 为了高精度，需要网格足够密，计算量大 做一次多项式求根
低信噪比表现 谱峰可能不明显 根的径向位置可能变动，但相位保持较好
局限性 适用于均匀线阵

最大似然法

确定性最大似然法（DML）

确定性最大似然法将信号视为 确定未知量，则参数估计包括 DOA 和信号波形 。

似然函数：在噪声满足高斯分布的假设下。数据的似然函数为

最大化似然函数等价最小化下面的代价函数

对于固定的 ，优化 ，对于每个固定时刻 t，这是一个线性最小二乘问题，最优解为

将 代入代价函数得到

定义

于是代价函数可以写成

最后，DML 优化的目标是

直观理解：寻找一组导向矢量 使得数据矢量在 的列空间上的投影残差最小，即让信号子空间尽可能贴近数据的主要能量方向。

随机性最大似然法（SML）

将信号 视为零均值复高斯随机过程，满足

噪声假设为

阵列的输出特性满足

下面推导似然函数与估计器

单个快拍的概率密度函数为

L 个独立快拍的联合似然函数为

对数似然函数为

目标是优化

SML 认为，既然信号是随机的，那我就不去估计每一个具体的信号值了，而是去估计信号的 统计特性（也就是它的协方差矩阵）。

固定 ，求解

对接收信号样本方差矩阵进行特征分解得到

其中特征值按降序排序：.

则噪声功率估计为

信号协方差矩阵估计为

SML 的优势在于，当两个信号高度相关（比如多径效应）时，信号协方差矩阵不满秩，MUSIC 算法失效，而 SML 建模时不考虑信号协方差矩阵是否满秩

ESPRIT 算法

Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques

核心思想时利用阵列的平移不变性估计信号参数（寻找两个相同子阵的旋转关系，避免对整个参数空间的搜索）

考虑两个完全相同的均匀线阵，每个阵列包含 个阵元，分别为 和 。两个阵列的接收信号表示为

其中

将接收信号协方差矩阵进行特征分解得到

将 切分为两个子阵，分别对应信号子空间的前 行和后 行。

然后利用最小二乘求解旋转矩阵

对该旋转矩阵做特征分解得到

求得相位增量，进而得到 DOA 估计值。

算法演进脉络

在算法的演进过程中，主要考虑以下几个方面的改进：

  1. 计算效率：MLE 计算量大，容易陷入局部最优，MUSIC 需要扫描角度空间；后续提出的 ROOT-MUSIC 去掉扫描步骤，直接计算多项式方程的根，ESPRIT 求解特征值问题，避免扫描这种 遍历 操作，提高计算效率；
  2. 分辨率：相关法利用简单的匹配滤波，受限于 Rayleigh 限，近角度易混淆，后来提出的 MUSIC 算法利用导向矢量与噪声子空间正交，谱函数理论上是无限窄的尖峰，分辨率得到提升；
  3. 多信号：相关法能有效处理单信号，后续提出的 MUSIC，ESPRIT 能处理多个信号同时入射的情况；
  • 相关法：易于实现，但是分辨率较低，近角度无法分辨，并且低信噪比条件下估计误差大；

与捕获算法类似的是，都是计算 接收信号 与 已知模板 的相似度，寻找峰值。

区别在于，捕获的相关法是在计算 时间 的匹配滤波（时域卷积运算 频域 运算），DOA 估计的相关法是 空间 上的匹配滤波；

  • MLE：将参数估计转化为最优化问题（理论可达 CRLB），计算量较大，容易出现局部最优的情况；
  • MUSIC：利用信号子空间与噪声子空间正交的特性，可以分离多个相近的信号，而且不需要求解复杂的最优化问题，但是计算复杂度高于相关法，耗时较长，实时性较差；
    • ROOT-MUSIC（仅适用于 ULA）：相较于 MUSIC 算法，ROOT-MUSIC 直接求根，不需要扫描角度，但是受到噪声的影响，根偏离单位圆 ；
  • ESPRIT：MUSIC 算法需要对角度空间搜索，而 ESPRIT 算法利用信号子空间的旋转不变性求解特征值问题，计算量更低；