Cramér–Rao 界的推导

本文的推导基于以下假设：

信号到达方向对于各个阵元是一致的；信号扫过阵列的过程中只考虑相移，忽略包络的变化。

设阵元数为 ，快拍数为 ，观测数据为

其中

• ，表示信号矢量；
• ，复加性高斯白噪声，各个阵元的噪声独立，且时间上互不相关，满足分布 ；
• ，表示含噪声的接收数据矢量，满足分布 .

复高斯随机变量概率密度函数的推导

设复随机变量

其中 与 均为实值随机变量，若 是一个复原对称高斯随机变量，则

• 与 相互独立；

• 与 满足

• 的均值表示为 ；

下面推导其概率密度函数（PDF），本质上是其 实部与虚部的二维联合 PDF。

因为 与 独立，则联合密度为

其中

因此

利用

得到

则

得到了一维 圆对称复高斯分布 的概率密度函数。

对于 维独立的复高斯随机变量，其联合概率密度函数为

对数似然函数的推导

观测数据 满足分布 ，均值向量为 ，带入上式，得到单个快拍的 PDF 为

由于 个快拍在时间上相互独立，则似然函数为各快拍 PDF 的乘积，即

最终的对数似然函数为

Fisher 矩阵的推导

对于单个参数 ，Fisher 矩阵为

对于矢量参数 ，Fisher 矩阵为

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首先计算对数似然函数的一阶导数（忽略常数项）

令 ，关注和参数 有关的部分，

则有

令 代入到对数似然函数的导数中

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下面计算对数似然函数的二阶导数

已经得到一阶导数为

对于复加性高斯白噪声，，因此

并且

于是似然函数的二阶导为

其中

代入对数似然函数二阶导数的表达式得到

其中 .

---

下面取期望得到 Fisher 信息

对数似然函数的二阶表达式中

那么

对于多参数的情况，即 ，

CRLB 的推导

对于实参数 ，其 Cramér–Rao 下界 为

则

单信号源+均匀线阵

下面考虑 单信号源，ULA 阵列，设阵元数为 ，阵元间距 ，ULA 导向矢量为

导向矢量对参数 的导数为

2-范数平方为

最终得到单信源， ULA 阵列的 Cramér–Rao 下界 为

单信号源+均匀面阵

下面考虑 单信号源，UPA 阵列，设水平方向阵元数为 ，垂直方向阵元数为 ，则总阵元数为 ，设入射角的俯仰角为 ，方位角为 ，则 UPA 的导向矢量表示为

其中，

导向矢量对方位角和俯仰角求偏导

下面求 Fisher 矩阵，对于二维参数 ，

其中

对于方位角

则

其中

得到

同理，可以求得

$$

$$

最终的 Fisher 矩阵

最终的 CRLB 表示为