从复数到四元数

复数与二维旋转

设复数，则

将这个结果写成矩阵相乘的形式，

说明 矩阵表示的几何变换与是复数乘法运算等价的。

一般地，向量在二维平面中对应一个直角三角形，两个直角边长度为和，斜边长为，即向量的模长，矩阵的每个元素同时除以模长，得到

设向量与轴夹角为，则 .

与该矩阵相乘在二维平面上实现的效果是 被乘的向量绕原点逆时针旋转 .

由此可以发现，复数能够表示二维平面上的旋转，假设旋转角度为，定义单位复数旋转因子为

被旋转的向量，相乘得到被旋转后的复数为

对应向量在二维平面中绕原点逆时针旋转了 .

四元数与三维旋转

本文仅使用右手坐标系。

在三维空间中，向量绕某个旋转轴旋转，可以将向量分解为平行于的分量和垂直于的分量，然后分别旋转这两个向量，再合并得到最后结果。

其中

始终与重合，旋转后的；

始终与垂直，它的旋转可以看作二维平面内的旋转，如下图所示，

向量绕旋转轴，旋转的结果

为了用“复数”形式表示类似的旋转，最简单的想法是在复数域再加一个维度，即在复数的基础上增加一个虚数，假设三维空间中的“复数”为

显然，与相乘得到的结果中包含这些交叉乘积项，并没有已知定义（与不在同一个向量空间中），因此不能表示三维空间中旋转的结果。

在二维平面中，向量可以在平面旋转，只需要一个虚数，而在三维空间中，向量旋转等效于在三个平面旋转，或许需要三个虚数表示才可以。

于是定义四元数，表示为，

其中表示三个维度，并且根据笛卡尔坐标系下的外积运算法则，定义

金雀花桥上的纪念石刻（图片来源于网络）

定义两个四元数

令，相乘并化简得到

其中

其余部分将提出，得到

最后得到两个四元数相乘的结果为

也可以将相乘结果写成

该乘法结果可以表示成矩阵形式

与矩阵类似，四元数的乘法并不遵循交换律。类比矩阵的逆的定义，定义四元数乘法的逆运算为，满足

与复数的共轭类似，定义四元数的共轭为

满足

则有

并且对于单位四元数来说，.

回到最初讨论的三维空间中的旋转问题，令，表示三维空间的向量，相乘结果为

为了使得旋转后的结果仍为三维向量，需要满足，即 .

只有虚部的四元数称为纯四元数，表示为，两个纯四元数的乘积为

基于前文向量绕旋转轴的讨论，将向量均用纯四元数表示

向量旋转后的结果

已知，则

由此可以得出，完成旋转这一变换的单位四元数可以构造为

单位向量指向转轴方向，待转向量正交于时，将旋转变换用四元数形式改写为

一般地，

令，则

最终得出结论，任意向量绕指向转轴方向的单位向量旋转，旋转后的可以用下面运算得到

其中 .

在表示二维平面中的旋转时，利用欧拉公式可以将旋转表示为指数形式，类似地，对于单位四元数，有

于是前面四元数的旋转表达式可以写成

考察四元数的变换，

与的变换相同。从几何角度考虑，表示绕转轴旋转，而表示绕相反的转轴旋转，所以说 单位四元数与三维旋转是一个二对一的满射同态关系。

四元数插值与三维旋转

前置知识：线性插值

已知函数在两点的值，要获得其它点数值，

与函数的线性插值类似，下面讨论四元数的插值，用单位四元数表示第一个方向，表示第二个方向，表示最终的方向。

与线性插值类似，当插值参数时，插值的效果是将旋转到，当时，插值的效果是将旋转到。

旋转的对象是角度，从指数形式考虑，“线性插值”的对象是四元数的指数，类比写出四元数插值的形式

其中与的角度差，即

当插值系数时，，当时，。

注：四元数不止有一种定义形式，本文仅涉及 Hamilton 形式。

参考资料

张小飞, 李建峰, 徐大专, 等.阵列信号处理及 MATLAB 实现[M].电子工业出版社,2020.（2.3 四元数理论）

Krasjet/quaternion

从复数乘法到旋转矩阵 - YourMath