泊松分布

二项分布

令随机变量 $X$ 表明在 $n$ 次彼此独立的伯努利实验中成功的次数，其中每次伯努利实验的成功概率均为 $p$，则可称变量 $X$ 服从二项分布。记作 $X\sim B(np)$。

其中 $X$ 的值为 $k$ 的概率记作 $b(k;n;p)$

$$b(k; n; p) = {n \choose k} p^k(1-p)^{n-k}$$

$X$ 的期望和方差分别为

$$\begin{aligned} E(X) &= np\\ D(X) &= np(1-p) \end{aligned}$$

当 $n$ 非常大时，计算 $b(k;n;p)$ 比较麻烦，可以考虑当 $n\to \infty$ 时，简化表达式 $b(k;n;p)$，

$$\begin{aligned} \lim_{n\to \infty} b(k; n; p) &= \lim_{n\to \infty}{n \choose k}p^k(1-p)^{n-k} = \lim_{n\to \infty} \dfrac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k!}p^k(1-p)^{n-k}\\ E(X) &= np\\ \end{aligned}$$

表达式的极限不存在，需要附加条件。可以考虑构造一个分布 $X\sim B(n, p_n)$，其中的 $p_n$ 随着 $n$ 变化而变化，假定期望 $np_n$ 为定值，设 $\lambda_n = np_n$，且 $\displaystyle\lim_{n\to \infty}\lambda_n = \lambda$，此时

$$\begin{aligned} \lim_{n\to \infty} b(k; n; p_n) &= \lim_{n\to \infty}{n \choose k}p_n^k(1-p_n)^{n-k} = \lim_{n\to \infty} \dfrac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k!}p^k(1-p)^{n-k}\\ &= \lim_{n\to \infty} \dfrac{p^k n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k!}p^k(1-p)^{n-k}\\ &= \lim_{n\to \infty} \dfrac{\lambda_n^k}{k!}(1-\dfrac{1}{n})(1-\dfrac{2}{n})\cdots(1-\dfrac{k-1}{n})(1-\dfrac{\lambda_n}{n})^{n-k}\\ &= \lim_{n\to \infty}\dfrac{\lambda^k}{k!}\times1\times (1-\dfrac{\lambda_n}{n})^{-\frac{n}{\lambda_n}\frac{\lambda_n(k-n)}{n}}\\ &= \dfrac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}\\ \end{aligned}$$

如果一个离散变量 $X$ 服从这种分布，则称为 泊松分布，记作 $X\sim P(\lambda)$，

$$\begin{aligned} P\{X = k\} &= \dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\\ E(X) &= \lambda,(\sum_{k = 0}^{\infty}\dfrac{\lambda_k}{k!}= e^{\lambda})\\ D(X) &= \lambda \end{aligned}$$

求解泊松分布的方差：

• 首先求 $E(X^2)$：

$$\begin{aligned} E(X^2) &= \sum_{k = 0}^{\infty} k^2\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}= \sum_{k = 1}^{\infty} k^2\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\\ &= \lambda e^{-\lambda} \sum_{k = 1}^{\infty} k\dfrac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} = \lambda e^{-\lambda} \sum_{k = 0}^{\infty} (k+1)\dfrac{\lambda^k}{k!}\\ &= \lambda e^{-\lambda}(\sum_{k = 0}^{\infty} \lambda\dfrac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} + \sum_{k = 0}^{\infty}\dfrac{\lambda^k}{k!})\\ &= \lambda e^{-\lambda}(\lambda e^{\lambda} + e^{\lambda})\\ &= \lambda^2 + \lambda\\ \end{aligned}$$

• 则方差

$$D(X) = E(X^2) - E^2(X) = \lambda$$

与二项分布的方差相比，少了一个 $1-p$，由于

$$\lim_{n\to \infty} p_n = \lim_{n\to \infty} np_n\dfrac{1}{n} = \lambda \cdot 0 = 0$$

则 $1-p_n$ 最终趋向于 $0$，方差只剩下 $\lambda$.

参考资料·

排队论基础