科海拾零

梯度、散度和旋度 算子 最早是由哈密尔顿作为一个记号用作四元数的运算，我暂时将它理解成一个普通的三维矢量 麦克斯韦在统一电磁理论的过程中用到了它。 梯度 当作用于变量时可以得到该标量在空间中的梯度，梯度是一个矢量场，表示在空间内某个位置沿某个方向的变化量。 在某一特定方向上的梯度 当时，即梯度方向与该方向相同时，梯度的值最大。 在标量场中，将等值的点连成线，可以借助等值线研究标量场随位置变化的特征：沿等值线法向，标量场变化所需的距离最短，垂直法向，标量场的值不变，标量场沿法向的变化率表示为 为这个极限加上法向方向，定义梯度为 将标量场放到平面直角坐标系中研究， 其中，则为梯度与轴夹角 散度 与一个矢量点乘得到矢量场的散度，表示空间内流出或流入某一区域的矢量的多少，表达式如下 计算流体的流量，设流速方向与截面法矢量的夹角为，流量可以表示为 流速方向与截面法矢量方向成锐角时通量取正（一般将截面由里指向外定义为截面法向，即矢量场的源在曲面内部）如果曲面闭合，通量可以写成。我们要想了解到场中的某个点的特征，就需要将闭合曲面不断缩小，同时包围的体积也在缩小，用来描绘矢量场中的某个点的 ...

天线的功能 天线是用来辐射和接收电磁波的装置，具体实现的是传输线上的导行波与自由空间中的电磁波相互转换 天线在通信系统模型的位置如图 电磁波辐射原理 两根平行导线，有交变电流时，会产生电磁波，沿着垂直与电场和磁场方向传播。 如果两根导线平行且距离很近，电场被束缚在两个导线之间，辐射微弱；将两个导线张开，电场被散播到周围空间，辐射增强。 当导线的长度增加到波长的时，辐射效果最显著。 产生电场的两根直导线，称为振子（臂长相同称为对称振子，长度为波长的称为半波对称振子）如下图所示 方向图反应了天线增益与空间角度的关系，从垂直方向上看，在振子轴线方向的辐射为零，水平方向上辐射最大，各个方向的辐射相同。半波对称振子是构成其它天线的基本单元。 通信基站天线 分类 按波长分：中波天线、短波天线、超短波天线、微波天线... 按性能分：高增益天线、中增益天线... 按指向分：全向天线、定向天线、扇区天线... 按用途分：基站天线、电视天线、雷达天线、电台天线... 按结构分：线天线、面天线... 按外形分：鞭状天线、抛物面天线、八木天线（收看模拟电视） 按系统类型分：单元天线、天线阵... ...

信号在正交集中的分解 矢量分解 为了方便理解，先从矢量分解说起， 单矢量基底 如左图，使 近似于矢量 ，误差尽可能的小（定义误差为 的模长），可以得到使误差最小的系数为 如果系数 ，则说明 与 垂直（正交）。 多矢量基底 为了将误差进一步缩小，现在用多个矢量的线性组合近似表示矢量 一般情况下，如果 的方向未知，某一个矢量基底的系数不仅与这个矢量有关，还与其它矢量基底的角度有关；如果满足矢量 两两正交，则可以证明 信号分解 与矢量分解类似推导信号分解 单标准信号 在时间范围 内，用 近似函数 ，并使得误差最小 此处误差讨论方均误差 与矢量分解类似，可以求得系数 如果 ，则称函数 与 正交。 多标准信号 现在用多个标准信号的线性组合来近似表示信号 当 两两正交时，可以证明 综上，矢量与函数的运算和分解如下 矢量 函数 “乘法” 正交 误差 误差代价 相似系数 信号的傅里叶级数表示 三角函数形式的傅里叶级数表示 选择一个正交函数集 ，其中 为什么不选泰勒级数呢，我算它应该是不正 ...

线性回归中 的闭合形式可以写成 .我想搞清楚这个式子的具体含义~ 网上查到了一些有关这个表达式形式的解释，整理如下： 无脑推导 欧几里得范数 在探究这个式子的含义前，先无脑地推导一下：从解方程组 开始，即 假设矩阵 是满秩的，我们的目的是使 最小，即最小化 ， $$ $$ 接下来，令 ，即 得到 . 投影 误差 ，当它与 正交时，误差是最小的，即 其实道理和范数是相通的……但还是没有找到让我'满意'的解释，或者说将 与 对比，该如何正向思考这种类似于正定的形式。 一点思考 直觉上，这个表达式的形式给我一种正定矩阵构造的内积的感觉 要想存在，必须保证 是可逆的，也就是说损失函数是凸函数，没有局部最小值，而是有全局最小值。

最大后验概率准则(MAP) 对于数字通信系统来说，可靠性的评价标准是 误码率，接收机要做的是以最小的错误概率猜出接收到的比特是 1 还是 0. 对于一个二进制传输系统来说，误码率定义为 其中 和 是发送集合元素的 先验概率， 为发送 时，接收信号条件概率密度函数在判决区域 的积分， 同理。 最后，在先验概率一定的情况下，要想使得误码率 最小，需要让 越小越好，最好是绝对值很大的负数，于是得到条件 这种判定方法称为 最大后验概率准则 MAP.也就是说，最佳接受机可以等效于一个 AP计算器+比较器。 最佳接收机 某数字通信系统如下： 发送端发射 元波形为 ； 经过高斯白噪声信道（ 双边功率谱密度为 ），得到接收信号位 现在要设计一个接收机结构，使得接收错误概率最小。执行如下操作，若 判定接收到的符号为 . 下面使用“采样法”计算波形与波形的后验概率： 如图，经过一个通带增益为 ，通带为 的抗混叠滤波器，再经过采样以后，得到的波形变为离散序列 ，每个时域采样点可以表示为 . 其中，随机变量 服从高斯分布，，且 相互独立 于是，随机变量 的 维随机概率密 ...

最佳接收，目的是使错误概率达到最小，也就是误码率最小，而决定误码率的因素有信噪比（负相关）、码间串扰。匹配滤波器要实现 在抽样时刻，滤波器的输出信噪比最大。 常规的滤波器设计是采用 参数化设计，是一个不断优化参数的过程。而匹配滤波器是要 解出使信噪比最大的滤波器的方程。下面开始推导： 设时域确定性波形 ，经过一个恶心的信道，噪声是一个双边功率谱密度为 的高斯白噪声，则信噪比可以定义为 在 时刻抽样，现在要导出输出信噪比最大的 。其中输出波形 在 时刻为 噪声波形的功率 为 于是有 表达式如下： 量纲： 最终得到信噪比的最大值为 ，根据柯西……不等式取等条件有： 即为匹配滤波器的表达式。匹配滤波器实际上是原波形先翻转移位~而且可以发现，最大信噪比只与输入波形能量和噪声功率谱密度有关，与波形的形状无关！ 那么波形的形状可以用来满足其它的要求，比如无码间串扰条件~

二项分布 令随机变量 表明在 次彼此独立的伯努利实验中成功的次数，其中每次伯努利实验的成功概率均为 ，则可称变量 服从二项分布。记作 。 其中 的值为 的概率记作 的期望和方差分别为 当 非常大时，计算 比较麻烦，可以考虑当 时，简化表达式 ， 表达式的极限不存在，需要附加条件。可以考虑构造一个分布 ，其中的 随着 变化而变化，假定期望 为定值，设 ，且 ，此时 如果一个离散变量 服从这种分布，则称为 泊松分布，记作 ， 求解泊松分布的方差： 首先求 ： 则方差 与二项分布的方差相比，少了一个 ，由于 则 最终趋向于 ，方差只剩下 . 参考资料 排队论基础